Бесконечно большие и бесконечно малые последователи

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности

Свойства бесконечно малых последовательностей

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
• Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.

Свойства сходящихся последовательностей[править | править исходный текст]

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так

40.осн.методы интегрирования.1.непосредственное интегрирование.вычисление интегралов с использованием осн. св-в неопределенных интегралов и простейших интергалов наз-ся непосредственным интегрированием. 2.метод замены.для нахождения интеграла ʃ f(x)dx можно заменить переменную х новой переменной, к-ая связана с х подходящей формулой х=φ (t) 3.интегрирование по частям.из формулы дифференциала произведения (d(uʋ)=ʋ du+udʋ) интегрируя обе ее части этого равенства uʋ =ʃ ʋ du+ʃ udʋ. Для применения этой формулы к интегралу ʃ f(x)dx нужно подынтегральное выражение представить в виде произв. 2-ух сомножителей и udʋ, за dʋ выбирают такое выражение содержащее dx интегрируя к-ое можно найти ʋ. За u принимается ф-ия, к-ая при дифференциации упрощается.

41. свойства определенного интеграла: 1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной

интегрирования: ʃ ba f(x) dx = ʃ f(t) dt = ʃ f(z) dz.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: ʃ aa f(x)dx = о.

3. Для любого действительного числа с: ʃ ba cdx = с• (Ь - а).