![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейного программирования
Рассмотрим игру, платежная матрица которой имеет размерность A=
Матрица не содержит седловой точки, поэтому решение игры представлено в смешанных стратегиях:
При оптимальной стратегии игрока А выполняется условие:
Можно рассмотреть задачу оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место следующие ограничения:
Величина V (цена игры) неизвестна, но можно считать V > 0 имея в виду, что элементы матрицы А неотрицательны. Этого всегда можно добиться, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число. Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенства на величину V. В результате получим:
Из условия Решение игры должно максимизировать значение V, следовательно, функция
должна принимать минимальное значение. Таким образом, получена задача линейного программирования:
при ограничениях типа (7.20) и условиях неотрицательности:
Решая ее, находим значение ti и величину 1/V, затем определяем значения
Для определения стратегии игрока В запишем следующие условия:
Разделив все члены неравенства на V, получим:
где Переменные Uj должны быть определены таким образом, чтобы выполнялось условие (7.26) и достигался максимум функции
Таким образом, получим пару симметричных двойственных задач линейного программирования. Используя свойство симметричности, можно решить одну из них, а решение второй найти на основании оптимального плана двойственной. Рассмотрим пример выбора оптимального варианта реализации инвестиционного проекта. Примем за целевой эффект получение требуемой надежности реализации проекта. Заказчик (игрок А) имеет 4 возможных метода получения целевого эффекта (4 чистых стратегии): 1.Снижение стоимости реализации проекта; 2. Повышение научно-технического уровня проекта; 3. Приглашение к участию в проекте других инвесторов; 4. Поэтапная реализация проекта. У подрядчика (игрок В) две чистые стратегии: 5- Привлечение субподрядчиков к работе над проектом; 6- Получение кредитов под модернизацию и расширение производства. Предполагается идентичность методов и средств в том смысле, что реализация каждого из них обеспечивает достижение целевого эффекта - заданной надежности реализации проекта. Однако, получаемый при разных методах экономический эффект различен, что связано с неодинаковыми затратами на реализацию проекта. Представим условия игры в виде матрицы игры (платежной матрицы), записанной в таблице 7.11. Таблица 7.11 – Матрица игры
Для поиска оптимальной пары стратегий игроков необходимо применить максиминную стратегию для заказчика, гарантирующую для него выигрыш не меньше некоторого значения, называемого ценой игры: Оптимальной для заказчика будет стратегия III - приглашение к участию в проекте других инвесторов. Для подрядчика оптимальной будет минимаксная стратегия, для которой проигрыш будет не больше некоторого значения, называемого верхней ценой игры: Оптимальной для подрядчика будет 5-я стратегия. Поскольку платежная матрица имеет седловую точку, игра решается в чистых стратегиях. В этом случае заказчик всегда должен применять свою III чистую стратегию, т.е. приглашать к участию в проекте других инвесторов. В свою очередь подрядчик должен всегда применять свою 5-ю чистую стратегию, т.е. привлекать субподрядчиков к работе над проектом. Не всегда решение игры можно найти в чистых стратегиях. Например, для тех же условий, что и принятые выше, платежная матрица имеет вид, представленный в таблице 7.12 Таблица 7.12 - Платежная матрица
Максиминная стратегия заказчика:
Минимаксная стратегия подрядчика:
Отсюда 10< 15, и, следовательно, решение игры не определяется в чистых стратегиях. Для решения игры в смешанных стратегиях необходимо определить вероятности, с которыми игроки А и В должны применять свои чистые стратегии. В этом случае возможно сведение игры к задаче линейного программирования (7.20, 7.22). В нашем примере целевая функция имеет вид (7.22): t1+ t2+ t3 + t4 ® min при ограничениях (7.20): -20× t1 -10× t2+ 10× t3+15× t4 ³ 1, 20× t1+30× t2+ 20× t3+8× t4 ³ 1. Cимплекс-матрица для решения задачи на ЭВМ имеет вид, представленный в таблице 7.13. Таблица 7.13 - Симплекс - матрица
В результате решения задачи значение целевой функции: 0.077. Значение искомых переменных: t1=0; t2=0; t3=0.028; t4=0.049. Поскольку значение целевой функции F=1/V=0.077, цена игры V=1/0.077=13. x3=V× t3=0.028 × 13=0.36; x4=V× t4=0.049 × 13=0.64; x3+x4=0.36+0.64=1. Таким образом, игрок А с вероятностью 0.36 применяет свою 3-ю стратегию, и с вероятностью 0.64 - 4-ю стратегию, рекомендующую повышение научно-технического уровня проекта. Стратегия 1 и 2 являются пассивными (вероятность их применения равна нулю). Для определения оптимальных смешанных стратегий подрядчика сформулируем следующую задачу линейного программирования (7.27, 7.26): U1 + U2 ® max: -20 + 20 £ 1, -10 + 30 £ 1, 10 + 20 £ 1, 15 + 8 £ 1. Получим симплекс-матрицу, записанную в таблице 7.14. Таблица 7.14 – Симплекс-матрица
В решении задачи получим значение целевой функции: 0.077 (так же, как и для двойственной задачи). Значения искомых переменных: U1=0.053, U2=0.024 4. Значение целевой функции W=1/V=13 y1=V× U1=0.053× 13=0.69 y2=V× U2=0.024× 13=0.31 y1+y2=0.69+0.31=1 Подрядчик с вероятностью 0.69 применяет свою 1-ю стратегию, т.е. привлекает субподрядчиков к работе над проектом; и с вероятностью 0.31 - 2-ю стратегию, рекомендующую ему получение кредитов под модернизацию и расширение производства. Вопросы для самопроверки: 1. Классифицируйте игры. 2. Каким образом определяется, решается ли матричная игра в чистых стратегиях? 3. Покажите алгоритм решения матричной игры в смешанных стратегиях. 4. В чем особенность игр с природой? 5. Что такое игра n лиц, кооперативная игра? 6. Приведите примеры применения теории игр для решения экономических задач.
|