Пример выполнения.

1. Данные баланса двух отраслей промышленности за некоторый период представлены в таблице баланса:

2. Оценим продуктивность матрицы прямых затрат.

Составим матрицу прямых затрат: , где - коэффициенты прямых затрат.

, , , .

Значит, - матрица прямых затрат.

Так как все элементы матрицы А неотрицательны и сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

max(0, 272; 0, 15; 0, 13; 0, 292) = 0, 292 < 1,

то по второму критерию продуктивности матрица прямых затрат продуктивна.

Чтобы оценить запас продуктивности, найдем и оценим λ в предположении, что матрица λ А продуктивна.

Для этого последовательно определяем:

,

-

- ,

,

.

Для продуктивности последней матрицы необходимо, чтобы все ее элементы были неотрицательны, что возможно при выполнении следующих условий:

Решаем последовательно каждое неравенство:

Окончательно получаем:

, откуда –117, 8< λ < 5, 3.

Таким образом, согласно определению запаса продуктивности, матрица А продуктивна при 1< λ < 5, 3, т.е. запас продуктивности α = 4, 3 – значителен.

3. Найдем новый вектор конечного продукта при увеличении конечного продукта первой отрасли в l = 2, 4 раз, а второй отрасли – на m = 20%.

.

4. Задача межотраслевого баланса формулируется следующим образом: «Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 547, 2 и 252 усл. ед.»

Новый вектор валового выпуска найдем по формуле:

.

Последовательно находим:

,

Найдем определитель матрицы (Е-А):

.

Составим присоединенную матрицу :

,

транспонировав, получим:

Матрицу найдем по формуле: .

,

Тогда, - новый вектор валового выпуска.

5. Таким образом, валовый выпуск первой отрасли должен возрасти с 300 усл.ед. до 659, 88 усл.ед., т.е. на 359, 88 усл.ед. (приблизительно на 120%), Валовый выпуск второй отрасли должен возрасти с 250 усл.ед. до 315, 072 усл.ед., т.е. на 65, 072 усл.ед. (приблизительно на 26%).