Базис в виде классических ортогональных полиномов

Выбор базисных функций φ _k(х) в виде степеней х (4.8) не является оптимальным с точки зрения решения системы нормальных уравнений с наименьшими погрешностями. Приемлемые результаты в этом случае можно получить, если набор экспериментальных данных с удовлетворительной погрешностью удается аппроксимировать полиномом невысокой степени(m< 4-5).

Лучшие результаты может дать использование классических ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и других в качестве базисных функций. Свойство ортогональности классических полиномов заключается в том, что для каждого типа полиномов существует отрезок [x₀ – x_n] на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка с весовой функцией р(х):

В случае большого количества узлов х_j- на отрезке [x₀ – x_n] скалярные произведения будут близки к дискретным скалярным произведениям, так как интегрирование можно приближенно заменить суммированием.

Значит, недиагональные элементы матрицы Грама будут иметь небольшую абсолютную величину, что позволит уменьшить погрешность решения системы линейных уравнений.

Разыскать определение полиномов Чебышева, построить графики 3-5 первых полиномов Чебышева.

Многочле́ ны Чебышева— две последовательности ортогональных многочленов T_n(x), n={0, 1, …} названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.

Многочлены Чебышева первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Несколько первых многочленов Чебышева первого рода