Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.

Каждое положительное число А может быть изображено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

А = k₁ · 10^m + k₂ · 10^m-1 +... + k_n · 10^m-n+1 +...,

где k₁, k₂, …, k_n,... - десятичные знаки (цифры) числа а, k₁≠ 0.

Однако в случае решения задач па компьютерах мы можем использовать лишь числа с конечным и заранее определенным количеством разрядов. Предположим, что для изображения чисел используется n разрядов. Тогда приближенное число а, представляющее точное число А, изобразится как

а = k₁ · 10^m + k₂ · 10^m-1 +... + k_n · 10^m-n+1,

где k₁≠ 0, n - количество десятичных знаков.

Значащей цифрой будем считать любую из цифр 1,.... 9, а также цифру 0, если она есть промежуточной или стоит в конце числа и является результатом измерения или вычисления.

Например:

а₁ = 0, 000105 - три значащие цифры,

а₂ = 20 - две значащие цифры,

а₃ = 3000 - четыре значащие цифры,

а₄ = 3, 0·10³ или 30·10² - две значащие цифры.

Пусть А и а - два близких числа, А будем считать точным, а - приближенным.

Величину Δ а = |А — а| называют абсолютной погрешностью приближенного числа а, а δ а =Δ а /a - его относительной погрешностью

Пример 1.1.

Пусть А = π = 3, 1415..., а = 3, 14.

Тогда Δ а = 0, 0015..., δ а = 0.0006.

Пример 1.2

Сформируем вслед за Д. Уилкинсоном полином 20-го порядка, задавая его корни как числа натурального ряда:

Р(х) = (х- 1)(х- 2)...(х- 20) = х²⁰– 210·x¹⁹ +...+ 20!

Если сейчас внести незначительную погрешность в коэффициент второго члена а₁₉ = 210 => (210+ 2^-23) = 210, 000000119, то среди корней, найденных по коэффициентам полинома, неожиданно появятся десять комплексных корней. Обсудим причину этого явления.