Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).

Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис. 8.3).

Предположим, что графическим методом определено начальное приближение х₀ к корню. В точке х₀ вычислим левую часть решаемого уравнения f₀ = f(x₀), а также производную в этой точке f'(x₀) = tg α. Следующее приближение к корню найдем в точке x_l, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (X₀, f₀), пересекает ось абсцисс. Затем считаем точку х₁ в качестве начальной и продолжаем итерационный процесс. Из рис. 8.3 видно, что таким способом можно приближаться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным х_к+1 и предыдущим х_к приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончим, когда выполнится условие

|x_{k + 1}- х_k| < ε

где ε - допустимая погрешность определения корня.

Из геометрических соотношений рис. 8.3 получим основную формулу метода Ньютона

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10^-5 - 10^-6 достигается через 5-6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Можно, несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f(x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона.