Метод Симпсона. Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) - параболой, проходящей -через узлы х0

Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р₂(х) - параболой, проходящей -через узлы х₀, х₂ (рис. 9.3).

Рисунок 9.4 – Пояснения к расчету определенного интеграла методом Симпсона.

Известно, что по трем точкам можно провести единственную параболу. Коэффициенты уравнения параболы можно вычислить с помощью интерполяционного многочлена Ньютона, или из СЛАУ, составленной для трех имеющихся точек.

В конечном итоге получаем следующую квадратурную формулу:

Это соотношение и называют формулой Симпсона или формулой парабол.

Формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, т.е. ошибка формулы Симпсона зависит от величины четвертой производной исходной функции. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод Симпсона.

Например [51], для функции f(x) = -25х⁴ + 45х² - 7 формула трапеций при n = 2 для интеграла в пределах [-1, 1] дает точный результат, равный 4, тогда как по формуле Симпсона получим результат, не совпадающий даже по знаку - (-8/3).