Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнических цепях, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция у(х) и ее первые n производных по аргументу х

(10.1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (10.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка

(10.2)

где k = 1,..., n.

Уравнение (10.1) и эквивалентная ему система (10.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.

В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (10.1) в некоторой точке х₀ должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции у (х) и ее производных

y(х₀) = y₀; y^’(х₀) = y₁₀; … y^(n-1)(х₀) = У_{n-1, 0}

Для системы ОДУ типа (10.2) начальные условия задаются в виде

y_k(х₀) = у_k0 (10.3)

где k = 1,..., n.

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале х Î [х₀, х_k] то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций у(х) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров λ _m, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [х₀, х_k] необходимо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т. д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

Большинство методов решения ОДУ предназначено для решения задачи наиболее часто встречающейся на практике задачи Коши, алгоритмы и программы для которой рассматриваются в настоящей главе.