Метод Эйлера. Для демонстрации основных идей, используемых для численного решения ОДУ, рассмотрим простейший метод Эйлера.

Для демонстрации основных идей, используемых для численного решения ОДУ, рассмотрим простейший метод Эйлера.

Предположим, что систему ОДУ (10.2) представлена в каноническом виде, в так называемой форме Коши, т.е. уравнения разрешены относительно производной.

При формулировке задачи Коши система (6.4) дополняется начальными условиями (6.3). Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного канонического уравнения, а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений.

В этом уравнении заменим производную в левой части приближенным конечно-разностным решением:

Отсюда получим выражение:

(10.4)

Теперь приближенное решение в точке х₁ = х₀ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (6.8) найти значение искомой функции в следующей точке х₂ = х₁ + h₁. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (рис. 10.1); искомую функцию у(х) мы заменяем ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x₀, x₁ …

Рисунок 10.1. Пояснение к работе метода Эйлера для решения ОДУ

На каждом шаге метода Эйлера решение у(х) определяется с погрешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональных h в степени выше первой.

Пример 10.1. Демонстрация метода Эйлера в программе MS Excel. В примере с помощью метода Эйлера рассчитывается решение уравнения y’ = x²; y(0)=0.

Создание решения и задание формул вычислительного метода

Полученное решение

Имеем y(6) = 75.64, точное решение в этой точке равняется 72.