Лагранж және Клеро теңдеулері

(1.42)

тү ріндегі тең деуді Лагранж тең деуі дейді. Бұ л тең деу () тең деуінің дербес тү рі болып табылады. Лагранж тең деудің параметрлік шешімі () тең деудің шығ ару жолы бойынша табылады.

Бұ л тең деу х айнымалысына қ арағ анда сызық тық тең деу. Оның ә рқ ашанда шешімі бар.Оны x=F(p, c) тү рінде белгілейміз.

Сонда тең деуін Клеро тең деуі деп атайды. Клеро тең деуі болғ анда Лагранж тең деуінен шығ ады.

-жалпы шешім. -ерекше шешім.

Туындысы арқ ылы шешілмеген тең деулер. Параметр енгізу ә дісі. Лагранж жә не Клеро тең деулері. Бірінші ретті тең деулердің ерекше шешімдері.

4. Туындығ а қ атысты шешілмеген тең деу.

5. Туындығ а қ атысты шешілмеген тең деуді параметр енгізу жолымен интегралдау.

6. Лагранж жә не Клеро тең деулері.

4. Туындығ а қ атысты шешілмеген тең деу.

(1.35)

тү ріндегі тең деу туындығ а қ атысты шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық тең деу деп аталады. Ең алдымен осы тең деудің шешімдерінің бар болуының жеткілікті шарттарын анық таумен айналысамыз.

Айталық (1.35) тең деуді -қ а қ атысты шешудің сә ті тү сті деп жорыйық. Онда бір немесе бірнеше, туындығ а қ атысты шешілген тең деулер алуымыз мү мкін:

(k =1, 2,,..) (1.36)

Айталық функциялар (k =1, 2,..) жазық тық тық та нү ктесінің тө ң ірегінде Пикар теоремасының шарттарын қ анағ аттандырсын. Онда нү ктесі арқ ылы бір-бірден интегралдық қ исық тары (1.35) тең деудің шешімдері екені белгілі жә не (k =1, 2,..) интегралдық қ исығ ына нү ктесінде жү ргізілген жанама векторының бағ ыты мә німен анық талады. Егер (k =1, 2,.) мә ндері ә р тү рлі болса, онда нү ктесінен ә р тү рлі интегралдық қ исық тар ө теді. Ал нү ктесінен жү ргізілген жанама векторлар да ә ртү рлі болғ андық тан (1.35) тең деудің белгілі-бір шешімін бө ліп алу ү шін бастапқ ы шарттармен бірге шарты қ оса берілуге тиіс. Кө ріп отырғ анымыздай y₀^/ мә ні қ алай болса солай беріле салмайды. мә ні

(1.37)

тең деуінің тү бірі болуғ а тиіс.

Сө йтіп, (1.35) тең деудің шешімінің бар болуы біріншіден, оның –қ а қ атысты шешілу мү мкіндігімен екіншіден, (1.36) тең деудің шешімдерінің бар болуымен байланысты екен.

Теорема 3. Егер центрі () нү ктесінде (, F()=0 тең деудің тү бірі) болатын тұ йық параллелепипедінде мына шарттар

а) функция F () ө зінің дербес тундылары жә не пен бірге аргументтерінің жиынтығ ы бойынша ү зіліссіз.

б) () 0 орындалса, онда нү ктесінің белгілі бір тө ң ірегінде

(1.38)

шартттарын қ анағ аттандыратын (1.35) тең деудің шешімі бар болады.

Дә лелдеу. Теореманың а) жә не б) шарттарының негізінде () нү ктесінің тө ң ірегінде айқ ындалмағ ан функциясының бар жә не жалғ ыз болу шарттары орындалады. Оның ү стіне, центрі () нү ктесінде болатын D₂ тіктө ртбұ рышы табылып, сол D₂ -да f(x, y) функциясы дербес туындысымен бірге ү зіліссізболады.

Демек, бастапқ ы есебінің сегментінде жалғ ыз ғ ана шешімі болады.

Егер (1.36) тең деулердің интегралдық қ исық тары () нү ктесінен ө тетін болса жә не олардың осы нү ктеден жү ргізілген ортақ жанамасы болса, онда () нү ктесінде кө рсетілген теореманың шарттары орындалмайды.