А) анықтамасы б) жалпы шешім, жалпы интеграл в) Коши есебінің қойылуы

Дифференциалдық тең деу деп тә уелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны жә не оның туындыларын байланыстыратын тең дікті атайды. Егер белгісіз функция тек бір ғ ана тә уелсіз айнымалыдан тә уелді болса, ондай тең деуді жә й дифференциалдық тең деу деп, ал бірнеше аргументтен тә уелді болса, ондай тең деуді дербес туындылы дифференциалдық тең деу деп атайды. Тең деуге кіретін туындылардың ең жоғ арғ ы реті дифференциалдық тең деудің реті деп саналады.

Жә й дифференциалдық тең деудің туынды бойынша шешілмеген тү рі мынадай қ атынаспен беріледі:

(1)

Мұ ндағ ы, -тә уелсіз айнымалы, -белгісіз функция, ал - оның туындылары.

Ә детте, тең деудің ең жоғ арғ ы реттегі туындысы бойынша шешілген тү рі қ арастырылады. Ол былай жазылады:

(2)

Дербес туындылы дифференциалдық тең деулерді тә уелсіз айнымалылардың санына байланысты ә ртү рлі етіп жаза беруге болады. Солардың ішінен екі тә уелсіз айнымалығ а байланысты тү рін мына тү рде жазуғ а болады:

(3)

Мұ ндағ ы, – тә уелсіз айнымалылар, - белгісіз функция, ал - дербес туындылар.

Егер белгісіз функциялар бірнешеу болса, онда сол функциялар санына байланысты дифференциалдық тең деулер жү йесі қ арастырылады.

Дифференциалдық тең деулердің шешімін табуды интегралдау деп атайды. Жә й дифференциалдық тең деудің шешімінің жазық тық тағ ы графигін интегралдық қ исық деп атайды. Дербес туындылы дифференциалдық тең деудің шешімінің кең істіктегі геометриялық кескінін интегралдық бет деп атайды.

Біз бұ л тарауда бірінші ретті жә й дифференциалдық тең деулерді қ арастырамыз жә не осы тең деудегі тә уелсіз айнымалыны нақ ты деп есептейміз. Мұ ндай тең деудің туынды бойынша шешілмеген тү рі тө мендегі қ атынаспен жазылады:

(4)

Мұ нда х -тә уелсіз айнымалы, –белгісіз функция, -туынды, ал F -берілген функция. Осы тең деудің туынды бойынша шешілген тү рі былай жазылады:

(5)

Мұ ндағ ы, -жазық тық тағ ы кейбір D облысында ү здіксіз бірмә нді анық талғ ан функция деп есептелінеді.

Нақ ты сандар осінде -аралығ ын қ арастырайық. Бұ л аралық тұ йық та, ашық та, ақ ырлы немесе ақ ырсыз да болуы мү мкін. Соң ғ ы жағ дайда болуы мү мкін.

Анық тама-1. аралығ ында анық талғ ан функциясы (5) тең деудің шешімі деп аталады, егер ол мынандай ү ш шартты қ анағ аттандырса:

1) функциясы аралығ ының барлық нү ктесінде

дифференциалданатын болса;

2) ;

3) .

Ескерту-1. Егер аралығ ы тұ йық немесе жартылай тұ йық

болса, онда шешімнің сә йкес оң жақ тық немесе солжақ тық туындылары бар болуы шарт.

Ескерту-2. функциясы D облысында ү здіксіз болғ андық тан, функциясы аралығ ында ү здіксіз болады.

Ескерту-3. Шешімнің анық талу облысының байланысты жиын

болуы қ ажетті шарт.

Мысалы, функциясы тең деуінің шешімі бола алмайды, ө йткені болғ анда анық талмағ ан. Бұ л жерде D облысы бү кіл ХОУ жазық тығ ы бола тұ рып, екінші шарт орындалмайды. Бірақ, функциясы жә не аралық тарында шешім болады.

Кейбір жағ дайларда (5) тең деумен қ атар оның аударылғ ан тү рі де қ арастырылады:

(6)

Бұ л тең деу функциясы D облысының кейбір нү ктесінің жақ ын аймағ ында шексіздікке айналып жататын жағ дайда қ арастырылады.

Егер шексіздікке ешқ андай нү ктеде жақ ындамаса, онда (5) жә не (6) тең деулердің шешімдері, яғ ни олардың интегралдық қ исық тары бір болады. Бұ дан шығ атын қ орытынды: (5) тең деудегі айнымалы х жә не у -тің кез келгенін тә уелсіз айнымалы деп қ арастыруғ а болады да, екіншісін соғ ан тә уелді функция деп алуғ а болады.

Сондық тан кө п жағ дайда (5) тең деуді оның симметриялық тү рінде жазады:

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0 (7)

Мұ ндағ ы M(x, y) жә не N(x, y) функцияларын кейбір D облысында анық талғ ан жә не ү здіксіз деп есептейміз. Егер D облысындағ ы бір (х₀, у₀) нү ктесінде

M(х₀, у₀)=N(х₀, у₀)=0 (8)

болса, онда ол нү ктені ерекше нү кте деп атайды.

(7) тең деуді (5) жә не (6) тү рге келтірсек:

немесе (9)

тү рінде жазамыз. Ал соң ғ ы (9) қ атынасты мына тү рде жазуғ а болады:

. (10)

Осы (10) тең деуді де дифференциалдық тең деудің симметриялық тү рі деп атайды.

Дифференциалдық тең деудің шешімдері ә детте кез келген тұ рақ ты санғ а байланысты болады. Сондық тан да дифференциалдық тең деудің шешімдері шексіз жиын қ ұ райды. Мысалы, тең деуінің шешімін тү рде жазуғ а болады. Мұ ндағ ы, С – кез келген тұ рақ ты сан. Осы С санын ө згерте отырып, ә ртү рлі параболалар жиынын аламыз.

Практикалық есептерді шешкенде тең деудің барлық шешімдерін табу емес, белгілі бір шарттарды қ анағ аттандыратын шешімді табу талап етіледі. Осындай есептің бір тү рі Коши есебі деп аталады. Ол былай қ ойылады: берілген (5) тең деудің барлық шешімдерінің арасынан тә уелсіз айнымалының берілген мә нінде берілген у₀ мә нін қ абылдайтын, яғ ни

(12)

шартын қ анағ аттандыратын шешімін табу керек. Қ ысқ аша бұ л есепті былай жазады:

(13)

Мұ ндағ ы, сандарын бастапқ ы мә ндер, ал (12) тең дікті бастапқ ы шарт деп атайды. Осығ ан байланысты Коши есебін бастапқ ы есеп дейді.

Коши есебіне геометриялық тү сініктеме беруге болады: (5) тең деудің барлық интегралдық қ исық тарының ішінен белгілі бір нү ктесі арқ ылы ө тетінін табу керек.

Коши есебінің мақ саты берілген шартты қ анағ аттандыратын бір шешімді табу болғ андық тан, ол есептің шешімі қ ай кезде бар жә не жалғ ыз болады деген сұ рақ тың тууы орынды. Бұ л сұ рақ қ а жауап беретін теоремаларды келесі бір бө лімде келтіреміз.

Жоғ арыда айтылғ андай, дифференциалдық тең деуді интегралдау нә тижесінде кез келген тұ рақ ты саннан тә уелді функция аламыз:

(14)

Мұ ндай шешімдер жиынтығ ын жалпы шешім деп атайды.

Анық тама-2. Айталық, облысы (5) тең деудің Коши есебі шешімінің жалғ ыздық шарты орындалатын облыс болсын. Ө зінің аргументтерінің кейбір облысында анық талғ ан жә не х бойынша ү здіксіз дифференциалданатын (14) функция (5) тең деудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол тө мендегідей екі шартты қ анағ аттандырса:

1) D облысында (14) тең дік С саны бойынша шешілсе, яғ ни

(15)

2) тұ рақ ты санның (15) ө рнекпен анық талғ ан кез келген мә нінде (14) функция (5) тең деудің шешімі болса.

Бұ л анық тамадан Коши есебінің кез келген бастапқ ы мә нді қ анағ аттандыратын шешімін табуғ а болады. Шынында да, жалпы шешім (14) ө рнекке бастапқ ы жә не сандарын қ ойсақ, онда

тең дігін аламыз. Анық тама бойынша бұ л ө рнек С саны бойынша шешіледі: . Осы табылғ ан мә нді бастапқ ы (14) қ атынасқ а қ ойсақ,

ө рнегін аламыз. Бұ л іздеген шешіміміз болады.