Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Норма и обусловленность матриц
|
|
Рассмотрим арифметическое линейное пространство 
, векторами которого являются п- мерные наборы 
. На нем можно определить следующие нормы:
, 
, 
.
Пусть имеется квадратная матрица Aп -го порядка. Множество матриц также является линейным пространством, и для него можно задать норму. Введем норму матрицы таким образом, чтобы она согласовывалась с нормой пространства векторов.
Нормой матрицы A, согласованной с нормой вектора называется следующая величина:
, 
Нетрудно проверить, что все свойства номы при этом выполняются. Кроме того, выполнено следующее свойство: 
.
Действительно,
Как следствие, выполняются неравенства:
1) 
; 2) 
.
Пусть имеется некоторая система линейных уравнений Ax=b. Предположим, что при ее решении были допущены некоторые погрешности. Обозначим r - погрешность решения; 
- погрешность правой части. В этом случае система имеет вид: 
. Так как умножение матриц - операция линейная, то 
и, следовательно, 
.
Рассмотрим относительные погрешности: 
- решения и 
- возмущения правой части. Найдем их отношение:
Величина 
называется мерой обусловленности матрицы А.. Если 
мала, то матрица называется хорошо обусловленной. Если велика, то матрица называется плохо обусловленной.
Пример. Пусть в векторном пространстве выбрана 
. Рассмотрим матричную норму 
, согласованную с .
Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
; 
; 
.
Решением этой системы является вектор 
.
Очевидно, что 
, 
, 
.
Предположим, что при вычислении хn была допущена погрешность. Пусть 
.
Находим остальные переменные:
.........
Тогда
; 
.
По определению 
, тогда 
.
Данная величина велика, следовательно, матрица плохо обусловлена.
.
Таким образом, с ростом размерности системы растет норма обратной матрицы.
Поскольку 
, то 
. Покажем, что в этом случае погрешность найденного решения велика.
Например, если 
.
Данный пример показывает, что при решении линейных систем следует обращать внимание на меру обусловленности матрицы А, поскольку при плохой обусловленности незначительное возмущение правой части может привести к существенному искажению результатов.
2.3. Метод простых итераций
Точные методы решения линейных систем применяются для систем относительно небольшой размерности (до 103). Для решения систем больших размерностей применяются итерационные методы, в частности, метод простых итераций.
Метод состоит в том, что система уравнений 
преобразуется к виду 
, и ее решение находится как предел последовательности
Теорема 2.1. Пусть имеется система линейных уравнений вида (где С - невырожденная квадратная матрица). Предположим, 
- произвольный вектор (начальное приближение). Построим последовательность векторов
- последовательные приближения (итерации).
В указанных условиях решение системы существует и единственно; при этом последовательные приближения 
сходятся к решению x * со скоростью геометрической прогрессии.
Доказательство.
Поскольку x * является решением матричного уравнения, то:
. (2.1)
.
Отсюда
а поскольку 
то 
следовательно,
.
Пусть система однородна (b= 0, 
). Тогда 
. Следовательно, в силу свойств нормы однородная система имеет единственное нулевое решение, поэтому неоднородная система также имеет единственное решение.
Возьмем какое-либо приближение
(2.2)
и рассмотрим разность равенств (2.2) и (2.1):
(2.3)
Так как в силу свойств нормы
, (2.4)
то
.
- убывает со скоростью геометрической прогрессии, т.к. 
по условию. Теорема доказана.
Произвольную систему вида Ax = b можно привести к виду, требуемому для применения метода простых итераций, положив B = A-E.
Действительно, Ах = (А – Е + Е)х = (А - Е)х + Ех = Вх + х = b.
Отсюда: х = b – Вх.
Оценим погрешность метода простых итераций. Учитывая (2.3), имеем:
,
.
Отсюда
.
Так как по условию 
, то на это выражение можно делить:
.
Поскольку (см. (2.4))
то
.