Постановка задачи. Во многих случаях встает проблема замены функции одной или многих переменных близкой ей функцией, чаще всего многочленом

Во многих случаях встает проблема замены функции одной или многих переменных близкой ей функцией, чаще всего многочленом. Подобная задача может возникнуть в следующих ситуациях:

1) Решение задачи требует многократного вычисления значения функции в различных точках. Если задана громоздким аналитическим выражением, то для ускорения времени вычислений естественно заменить (аппроксимировать) исходную функцию близкой к ней функцией так, чтобы

,

где e - точность аппроксимации. При этом вычисление должно быть более быстрой процедурой, чем вычисление . Во многих случаях в качестве выбирается полином некоторой степени.

2) Предположим, что функция задается своими значениями в узлах . В памяти эти значения хранятся в виде двумерного массива . При большом п хранение и обработка этой таблицы могут оказаться слишком обременительными. В этом случае проще подобрать близкую функцию , зависящую от небольшого числа параметров, и работать не с табличными данными, а с аналитическим выражением.

3) Описанная выше таблица значений функции может представлять результаты какого-либо эксперимента. В этом случае перед экспериментатором стоит задача поиска эмпирической закономерности, наилучшим образом описывающей полученные результаты.

Во всех перечисленных случаях точность приближения зависит от введенной в качестве меры близости нормы. В зависимости от того, какая норма рассматривается, различают различные задачи аппроксимации.

Если в пространстве функций введена равномерная непрерывная норма

,

то задача называется задачей равномерного приближения.

Если рассматривается среднеквадратичная интегральная норма

или согласованная с ней дискретная норма

,

то задача называется задачей среднеквадратичного приближения.