Многочлен Тейлора

Пусть функция . Тогда в качестве аппроксимирующей функции берем многочлен Тейлора в некоторой точке х ₀:

,

при этом в точке х ₀ совпадают значения не только самой функции и многочлена тейлора, но и их производных:

.

Оценка погрешности приближения следует из формулы остаточного члена формулы Тейлора:

.

Тогда погрешность в точке х равна:

(4.1)

Так как , то непрерывна на этом отрезке и, следовательно, достигает своего максимума. Обозначим

.

Тогда

. (4.2)

В целом на отрезке [ a; b ] погрешность аппроксимации не превосходит:

. (4.3)

Приближение многочленом Тейлора обладает существенными недостатками. Во-первых, для его вычисления необходимо знать не только саму функцию, но и ее производные, что не всегда возможно. Во-вторых, многочлен Тейлора гарантированно совпадает с только в одной точке х ₀. И, наконец, из (4.2) следует, что погрешность сильно зависит от точки, в которой мы ищем приближение: чем ближе к концам отрезка, тем погрешность аппроксимации больше.