Интерполяционный полином Ньютона. Пусть на отрезке интерполяции выбраны произвольным образом п+1 точка

Пусть на отрезке интерполяции выбраны произвольным образом п +1 точка . Рассмотрим многочлен следующего вида:

. (4.12)

Покажем, что он является интерполяционным, т.е. .

1) При n= 1 имеем . непосредственной проверкой убеждаемся, что:

l ₁(x ₀) = f (x ₀), т.к. x - x ₀ = 0.

2) При n= 2:

.

В точках х ₀ и х ₁ проверка осуществляется аналогично предыдущему случаю.

Далее доказательство осуществляется по индукции.

Таким образом, данный многочлен является интерполяционным и называется интерполяционным многочленом Ньютона.

По теореме о единственности интерполяционного полинома многочлен Ньютона совпадает с многочленом Лагранжа, т.е. это две разных формы записи одного и того же полинома. Погрешность интерполяции полиномом Ньютона совпадает с погрешностью интерполяции полиномом Лагранжа. Однако в некоторых случаях лучше использовать многочлен Ньютона, чем многочлен Лагранжа. Например, при добавлении узлов интерполяции достаточно добавить к многочлену Ньютона одно или несколько слагаемых, а лагранжевы коэффициенты в этом случае приходится пересчитывать полностью.

Рассмотрим интерполяцию с равноотстоящими узлами . Положим . Тогда, подставляя в (4.12) и учитывая лемму 4.3, получим:

Данный многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. При этом в качестве x ₀ удобно выбирать самую левую точку интервала интерполяции. Интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции вперед удобно использовать для вычисления значения функции в левом конце отрезка или для экстраполяции левее начального приближения x ₀.

В качестве x ₀ можно взять и правый конец отрезка, тогда . Проделав выкладки, аналогичные приведенным выше, получим:

- интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции назад (удобен для экстраполяции правее правого конца отрезка интерполяции).

Нетрудно видеть, что по мере удаления от точки x ₀ погрешность аппроксимации будет увеличиваться. Поэтому при интерполяции в середине отрезка удобно и целесообразно выбирать узлы интерполяции поочередно слева и справа от точки x ₀.