Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Способы получения краевых условий
|
|
1. Если известны значения производной в граничных точках f /(a) = f 0 / и f /(b) = f N /, то полагаем m 0 = f 0 / и mN = f N /.
2. В качестве значений m 0 и m N можно выбрать аппроксимацию производной функции f формулами третьего порядка точности:
; 
3. Если известны f //(a) = f 0 // и f //(b) = f N //, то можно приравнять вторые производные сплайна в граничных точках к заданным вторым производным. В результате получим:
и 
.
Конечный вид сплайна зависит от выбранных краевых условий. При этом возможна любая комбинация краевых условий.
Преимущества аппроксимации сплайнами:
1) Если для аппроксимации функции используется интерполяционный многочлен, то для увеличения точности интерполяции надо уменьшить шаг, т.е. увеличить количество точек, но при этом увеличится степень многочлена, с которым уже труднее работать. Сплайн же позволяет, изменяя количество точек, оставлять степень многочлена постоянной.
2) При работе со сплайном можно гарантировать аппроксимацию не только самой функции, но и аппроксимацию производных.
Теорема 4.3 (об оценке погрешности приближения функции сплайном).
Пусть функция fÎ C k +1[ a; b ] и S 3(x) – сплайн, аппроксимирующий данную функцию. Тогда для любого отрезка [ xi; xi+ 1] максимальное отклонение m -ой производной функции от соответствующей производной сплайна имеет вид:
, где 
(С – некоторая константа, зависящая от функции, но не зависящая от h).
Замечание 1. Если сплайн построен по наклонам, заданным способами (1) и (3), то данная формула справедлива при 
. Если же наклоны заданы по способу (2), то 
.
Замечание 2. Если функция является периодической с периодом b-а, то добавляется условие m 0 = m N, после чего сплайн повторяется периодически на всю ось.