Метод прямоугольников. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в окрестности нуля, т.е

Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в окрестности нуля, т.е.
f Î C²[ -h/2; h/2 ].

Рассмотрим функцию :

F(0)=0; F ^/ = f; F ^// = f ^/; F ^/// = f ^//.

Запишем для F формулу Тейлора в точках -h/2 и h/2:

,

,

где , 0 < x₁< h/2 и -h/2< x₂< 0.

По теореме Ньютона-Лейбница:

.

Т.к. вторая производная непрерывна, то по теореме о среднем существует точка x такая, что .

Тогда:

.

Таким образом, можно положить:

,

при этом погрешность вычисления интеграла составит: ,

где ξ – некоторая точка из интервала (h/2, h/2)

Геометрически квадратурная формула прямоугольников означает, что площадь под интегрируемой кривой заменяется на площадь прямоугольника с основанием, равным отрезку интегрирования, и высотой, равной f (0) (рис.5.1).

Рис.5.1. Метод прямоугольников

Полученная формула имеет 3-й порядок точности (h ³) и точна для многочленов 1-й степени.

Пусть теперь функция задана на некотором произвольном отрезке [ а; b ]: f Î C²[ a; b ]. Разбиваем [ a; b ] на N отрезков с шагом h:

h = (b-a)/N, x _i =a + ih, f_i=f(x_i).

Используя аддитивность определенного интеграла и применяя на каждом маленьком отрезке формулу прямоугольников получаем:

– составная формула прямоугольников.

При этом погрешность приближения: