Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формулы конечного дифференцирования
|
|
Для решения некоторых задач часто необходимо знать не только значения функции, но и ее производные. Во многих случаях вычисление производных достаточно сложно, а для таблично заданных функций просто невозможно. Поэтому возникает проблема приближенного вычисления значения производных функции в точке. Используя определение производной
,
в качестве приближенного значения первой производной можно взять величину
.
Однако сделать заключение о величине погрешности вычисления производной в общем случае невозможно. Поэтому необходимо сделать некоторое предположение о дифференцируемости анализируемой функции.
В общем случае формулы для численного дифференцирования получают, используя разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки x 0. Рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
Рассмотрим различные случаи.
Пусть fÎ C2[ a; b ]. Тогда 
.
Воспользуемся разбиением с равноотстоящими узлами. Пусть 
. Тогда
.
Поскольку x 1 - x 0 = h, то, преобразовав данное выражение, получим:
. (4.13)
В этом случае погрешность вычисления производной f /(x 0) составит:
, где 
.
Если заданная функция более гладкая, то погрешность вычисления производной можно уменьшить.
Пусть fÎ C3[ a; b ]. Тогда
.
Подставим точки x 1 = x 0 + h и x -1 = x 0 - h: 
(4.14)
(4.15)
Вычтем из равенства (4.14) равенство (4.15):
Преобразуя полученное выражение, имеем:
.
Так как по предположению о гладкости функции f третья производная f /// непрерывна, то по теореме о среднем найдется точка x такая, что 
.
Учитывая это обстоятельство, получим:
,
или, отбрасывая второе слагаемое:
. (4.16)
Погрешность в этом случае не превосходит модуля отброшенного слагаемого:
.
Аналогичным образом можно получить формулы для второй производной f// (x 0).
Пусть fÎ C4[ a; b ]. Тогда:
.
Подставим точки x 1 = x 0 + h и x -1 = x 0 - h:
Сложим полученные равенства:
Таким образом,
или приближенное значение второй производной в точке х 0 равно:
. (4.17)
При этом погрешность 
.
Другим способом получения формул численного дифференцирования является приближение функции полиномом Лагранжа. В этом случае можно в качестве производных функции f(x) брать соответствующие производные многочлена Ln(x). Для различных т и п получаем:
1) m= 1; n= 2: 
.
.
.
2) m= 2; n= 2: 
и т.д.