Сплайны

Пусть на отрезке [ a; b ] задана некоторая достаточно гладкая функция fÎ C ^k+1 [ a; b ]. Разобьем этот отрезок на N частей точками , где h = (a-b) /N (i = 0, 1,..., N).

Сплайном называется аппроксимирующая функцию f функция, непрерывная на отрезке [ a; b ] вместе с несколькими своими производными, являющаяся на каждом отрезке [ x_i; x_{i+ 1}] многочленом некоторой степени. Наибольшая степень многочленов по всем отрезкам [ x_i; x_{i+ 1}] называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и максимальным номером его непрерывной производной называется дефектом сплайна.

В качестве примера рассмотрим кусочно-линейную аппроксимацию. Ее можно рассматривать как сплайн первой степени. В этом случае все производные – константы, и первая производная разрывна. Дефект сплайна в этом случае равен 1 – 0 =1.

На практике для аппроксимации функции используются сплайны 3-й степени, у которых непрерывна, по крайней мере, первая производная. Такие сплайны называются кубическими (S ₃(x)).

Условие непрерывности первой производной: .

Значение производной называется наклоном сплайна в точке x_i.

Если известны значения функции в узлах f_i = f(x_i) и наклоны m_i, то получить формулу кубического сплайна можно исходя из следующих условий:

на отрезке [ x_i; x_{i+ 1}];

; ; ; .

Подставляя значения f_i и m_i в уравнение сплайна и его производную, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Решая полученную систему, находим коэффициенты сплайна. После преобразований формула кубического сплайна имеет вид:

(4.18)

Из полученной формулы видно, что кубический сплайнсимметричен относительно узлов разбиения. Из определения значений и наклонов сплайна в узлах разбиения следует, что сплайн является интерполяционным.

Нетрудно показать, что интерполяционный сплайн для заданной функции определяется единственным образом.

Существуют различные способы задания наклонов сплайна.

1. Если известна либо производная функции, либо ее значения в узлах (f ^/(x_i) = f_i ^/), тогда можно считать .

2. Если заданы только значения в узлах, то можно использовать формулы численного дифференцирования:

, Þ (i = 1, 2,..., N) – для внутренних точек;

, – для граничных точек.

Способы 1 и 2 называются локальными. На каждом отрезке [ x_i; x_{i+ 1}] сплайн строится отдельно. Для таких сплайнов дефект равен, как правило, 2 (непрерывна первая производная).

3. Для уменьшения дефекта пользуются глобальным способом задания наклонов. Находим вторую производную:

,

, (i= 1, 2,... N -1).

Поскольку вторая производная должна быть непрерывна, приравняем эти выражения:

,

откуда

.

Определив поведение сплайна в граничных точках (х ₀ и х_N), имеем систему из
(N - 1) + 2 = N + 1 уравнений, которую можно решить методом прогонки. После определения всех наклонов, получим кубический сплайн, дефект которого не больше 1.