Метод трапеций. Пусть функция fÎC2[0; h]

Пусть функция f Î C ²[0; h ]. Обозначим , . В качестве приближенного значения интеграла берем площадь трапеции (рис. 5.2):

Рис.5. 2. Метод трапеций

.

Рассчитаем погрешность, используя формулу Тейлора с интегральным остаточным членом:

Для подынтегральной функции получаем:

(5.1)

Учитывая свойства функции , имеем

(5.2)

Умножим (5.1) на h/2:

.

Выразим (h/ 2) f ₀:

.

Заменим в формуле (5.2): , тогда

Полагая:

,

получаем, что погрешность вычисления интеграла равна:

Полученная формула имеет 3-й порядок точности и точна для многочленов 1-й степени.

Пусть теперь функция задана на некотором произвольном отрезке [ а; b ]: f Î C²[ a; b ]. Разбиваем [ a; b ] на N отрезков с шагом h:

h = (b-a)/N, x _i =a + ih, f_i=f(x_i).

Рассуждая аналогично методу прямоугольников, получим:

- составная формула трапеций

При этом погрешность приближения: