Постановка задачи. Разностные схемы для ДУ 1 порядка

Рассмотрим на отрезке [ a; b ] обыкновенное дифференциальное уравнение:

F(x, y, y ^/,..., y ^(k)) = 0 (6.1)

с граничными условиями вида:

f(a, y(a), y ^/(a),..., y ^(k)(a)) = A.

Если граничные условия заданы в одной точке, то говорят, что имеется задача Коши, если в двух – краевая задача.

Напомним, что обыкновенные уравнения делятся на линейные и нелинейные. В случае линейной задачи и само уравнение, и граничные условия являются линейными функциями относительно y, y ^/,..., y ^(k). В случае нелинейной задачи по крайней мере одна из функций F или f является нелинейной.

Для дифференциального уравнения 1-го порядка теоретически можно разрешить неявную функцию, стоящую в левой части уравнения (6.1) относительно первой производной y ^/=f(x, y) при граничных условиях y(a) = y ₀ и проинтегрировать полученное уравнение. Однако во многих случаях это сделать тяжело, а для уравнений высших порядков зачастую и невозможно. В связи с этим приходится применять численные методы решения дифференциальных уравнений.

Задача дискретизации дифференциального уравнения заключается в переходе от бесконечномерного пространства функций на отрезке[ a; b ] к конечномерному пространству и нахождению в нем приближенного решения задачи. Дискретизация дифференциального уравнения состоит из 5 этапов.

1. Выбор конечномерного пространства, в качестве которого может быть выбрано пространство многочленов степени не выше m; пространство кусочно-постоянных функций; пространство функций на конечном множестве точек; пространство сплайнов и др.

2. Постановка задачи, эквивалентной исходной для выбранного конечномерного пространства. Рассмотрим пример.

Пусть решаемое дифференциальное уравнение имеет вид: y^/=f ₀ (x)+f ₁ (x)y; y(a)=y ₀. Предположим, что в качестве пространства дискретизации выбрано пространство многочленов степени не выше m, а f ₀ и f ₁, в свою очередь, являются многочленами степени не выше k. Тогда, полагая , получим:

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и приведем подобные. Получим систему уравнений относительно коэффициентов a ₀, a ₁,..., a_m:

В результате дискретизации задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Различные дискретизации отличаются друг от друга первыми двумя этапами.

3. Решение полученной алгебраической задачи.

4. Восстановление приближенного решения по найденным значениям.

5. Оценка погрешности между приближенным и точным решениями.

На практике нахождение решения дифференциального уравнения обычно сводится к нахождению значений неизвестной функции y в конечном множестве точек.

Пусть на отрезке[ a; b ] задана задача Коши: , y(a) = y ₀. Рассмотрим разбиение отрезка[ a; b ] точками x_i с постоянным шагом h = (b-a)/n, т.е. x _i =a + ih.

Будем искать значения функции в этих точках.

В качестве значения производной функции в точке можно взять одну из формул численного дифференцирования:

(6.2)

; (6.3)

. (6.4)

Возникающие системы уравнений называются разностными схемами для задачи Коши.

Схема (6.2) является явной, т.к. позволяет, зная у ₀, последовательно найти значения функции в остальных точках. Схемы (6.3) и (6.4) являются неявными.

Схемы (6.2) и (6.4) являются замкнутыми; в них количество уравнений совпадают с количеством неизвестных. Схема (6.4) – незамкнутая, т.к. уравнений n -1, а неизвестных - n. Способ, которым незамкнутая схема будет замкнута, повлияет на найденное решение.