Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра L_n (x) отрогональны на отрезке [–1, 1] с единичной весовой функцией h (x)=1. Они могут быть определены на основе рекурентного соотношения

, (2.3)

при этом L ₀(x)=1, L ₁(x)= x.

Нормирующий множитель (квадрат нормы)

.

На рисунке 2.1 показаны первые четыре полинома Лежандра, вычисленные на основе (3). Упорядочение осуществляется по степени полинома.

Рисунок 2.1 – Полиномы Лежандра

Вычисление спектральных коэффициентов производится по формуле, аналогичной формуле (1.6) из темы 1:

. (2.4)

Если сигнал, подлежащий исследованию, представлен в виде дискретных во времени отсчетов, то целесообразно использовать дискретные полиномы Лежандра. Аргументом при этом является последовательность натуральных чисел 0, 1, 2, …, k, …, Km, где Km – номер последнего отсчета.

В общем виде дискретный полином Лежандра степени n определяется на Кm +1 равноотстоящих отсчетов выражением

, (2.5)

где – число сочетаний из А элементов по В элементов, n =0, 1, 2, ….

Полиномы (2.5) ортогональны на отрезке [0, Km ] с единичной весовой функцией.

Нормирующий множитель (квадрат нормы) определяется как

. (2.6)

Спектральные коэффициенты определяются в этом случае выражением

. (2.7

• Если , то
• Для , степень равна n.
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра равна 1.
• Уравнение имеет ровно различных корней на отрезке
• Пусть . Тогда:

·

·

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

При уравнение принимает вид

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где — символ Кронекера.

• Для , норма равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:

• При каждом система присоединённых функций Лежандра полна в .
• В зависимости от и присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

· — четная функция;

· — нечетная функция.

• 
• 
• , поскольку , а .
• Для , .
• 

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Метод прямоугольников

Разобьем отрезок точками на n равных частей. В результате получим n криволинейных трапеций. Площадь каждой из трапеций можно приближенно заменить площадью прямоугольников.

Рисунок 1 – Геометрический смысл определенного интеграла

Метод прямоугольников относится к простейшим методам. К этому методу относят методы: левых прямоугольников, правых прямоугольников и средних прямоугольников.

1. Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле , а – значения функции в соответствующих точках.

На рисунке 2 приведен геометрический смысл метода левых прямоугольников

Рисунок 2 - Геометрический смысл метода левых прямоугольников

2. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле , а – значения функции в соответствующих точках.

На рисунке 3 приведен геометрический смысл метода правых прямоугольников.

Рисунок 3 - Геометрический смысл метода правых прямоугольников

3. Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле .

На рисунке 4 приведен геометрический смысл метода средних прямоугольников.

Рисунок 4 - Геометрический смысл метода средних прямоугольников

Как следует из рисунков 2-4, метод прямоугольников имеет достаточно большую погрешность и поэтому широкого практического применения не находит.

Дискретизация дифференциальной задачи: разностная сетка, шаблон и схема. Явная и неявная схемы.

Сформулируем задачу решения ДУЧП на примере модельного уравнения теплопроводности:

Здесь — нестационарный член, — конвективный член, — релаксационный (теплопроводный) член, u — скорость среды, λ — температуропроводность, Q — источник тепла.

Уравнение решается на множестве a ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤ τ. Начальное условие: .

Краевые условия: .

Дискретизация задачи решения ДУЧП разностными методами состоит из следующих этапов:

1. Дискретизация расчётной области.

{0 ≤ t ≤ τ, a ≤ x ≤ b } →

→ { t ⁿ, n = 0 ÷ N } ´ { x_i, i = 0 ÷ I }.

Получилась разностная сетка.

Δ tⁿ = t ⁿ – t ^{n –1} (часто полагают Δ tⁿ = const),

Δ x_i = x_i – x_{i –1} (часто полагают Δ x_i = const).

2. Дискретизация искомой функции:

.

3. Дискретизация дифференциального уравнения (конечные разности).

— аппроксимация «вперёд по времени».

— аппроксимация «против потока» (если u > 0).

— «центральная» аппроксимация.

На месте «…» стоят величины, бесконечно малые по отношению к основным значениям.

. Забываем про «…».

Далее полагаем Q = 0.

зависит от , , . Эту зависимость можно условно обозначить схемой (такую схему, точнее, множество точек, которые участвуют в зависимости, называют разностным шаблоном). В данном случае разностный шаблон состоит из 4 точек.

4. Дискретизация начального условия:

5. Дискретизация граничных условий.

,

,

.

Разностный шаблон:

Здесь L_h — линейный разностный аналог дифференциального оператора по пространственным переменным (x), h = Δ x.

В явной схеме пространственная производная аппроксимируется на текущем (известном) временном слое, а в неявной — на следующем (неизвестном). Явные схемы, в отличие от неявных, не абсолютно, а лишь условно устойчивы (т. е. только при определённых соотношениях между Δ t и Δ x). Для явной схемы получится рекуррентная формула, а для неявной схемы — СЛАУ с трёхдиагональной матрицей:

Можно использовать также частично-неявную схему:

.

При s = ½ получим — разностная схема Кранка-Николсона.

Разностный шаблон для схемы Кранка-Николсона:

Разностный шаблон

для неявной схемы

Другие варианты разностных схем: