Конечные и разделенные разности

Пусть имеется набор точек , h> 0, kÎ Z. Пусть также задана функция f (x). Обозначим значения функции в узлах f (x_k) = f_k.

Конечной разностью первого порядка называется величина

.

Конечной разностью второго порядка называется величина

.

В общем случае конечная разность п-го порядка вычисляется по рекуррентной формуле:

.

Лемма 4.1. Пусть функция . Тогда на интервале найдется такая точка , что

. (4.11)

Доказательство.

1) Пусть n= 1. Равенство следует из теоремы Лагранжа.

2) Пусть n= 2. . Положим , тогда:

.

Поскольку , то , следовательно,

.

3) При увеличении п на единицу каждый раз добавляется одно дифференцирование.

Следствие 4.1.1. Если имеется многочлен степени n, то его n -ая конечная разность не зависит от выбора точки, а все конечные разности порядкавыше n равны нулю.

Из формулы (4.11) следует, что , тогда при вычислении погрешности интерполяции можно принять:

.

Пусть на числовой прямой произвольным образом выбрано множество точек таких, что при (т.е. нет совпадающих точек). Пусть также задана некоторая функция .

Значения функции в узлах разбиения , ,..., называются разделенными разностями нулевого порядка.

Разделенной разностью первого порядка называется величина

.

Она является симметричной относительно входящих в нее узлов.

Разделенная разность второго порядка:

.

В общем случае разделенная разность n-ого порядка определяется по следующей формуле:

.

Лемма 4.2. Разделенная разность n- ого порядка является симметричной относительно входящих в нее узлов.

Доказательство.

1) При n =1 утверждение леммы следует из определения.

2) Пусть n = 2. Тогда по определению:

Данная разность симметрична относительно входящих узлов. Аналогично утверждение леммы доказывается при остальных п. Поэтому нумерация узлов может быть произвольной.

Лемма 4.3. Если разбиение произведено с постоянным шагом, т.е. , то разделенная разность n- ого порядка может быть представлена через конечную разность по следующей формуле:

.

Следствие 4.3.1. Если все точки лежат на некотором отрезке[ a; b ], а , то найдется такая точка h Î [ a; b ], что

.

Следствие 4.3.2. Если имеется многочлен степени n, то его n -ая разделенная разность не зависит от выбора точки, а все разделенные разности порядкавыше n равны нулю.