Основні поняття математичного аналізу. Границя функції

Диференціальне числення функції однієї змінної

Функції однієї змінної. Нехай Х і Y - деякі множини дійсних чисел. Запропонуємо, що кожному елементу х множини Х за деяким законом або способом f поставлений у відповідність певний елемент множини Y, то говорять, що на множині Х задана функціональна залежність (функція) у = ƒ (х) (або відображення множини Х на множину Y). При цьому х називається незалежною змінною (аргументом), у - залежній змінній, множина Х - областю визначення (існування) функції ƒ, а елементи у = ƒ (х) утворюють область значень функції - Y.

Візуалізація функціональної залежності (функції однієї змінної) була розглянута в розділі 3.3 (графічні можливості Maxima) цього навчального посібника.

Обернена функція. Нехай задана функція у = f(х) з областю визначення Х і множиною значень Y. Якщо кожному значенню y Y відповідає одно і тільки одно значення х Х, те має місце функціональна залежність x = φ (y) з областю визначення Y і безліччю значень Х. Така функція φ (y) називається оберненою до функції f(х).

Складна функція. Нехай функція z = φ (х) з множиною значень Z, визначена на множині Х і на множині Z також визначена функція у = f(z) з множиною значень Y, тоді функція у = f[φ (х)] називається складною функцією від аргументу х, а змінна z називається проміжною змінною складної функції.

Основні елементарні функції:

1) Степенева функція , де α - дійсне число.

2) Показникова функція .

3) Логарифмічна функція .

4) Тригонометричні функції: , , , .

5) Обернені тригонометричні функції:: , , , .

6) Алгебраїчною функцією називається функція в якій над аргументом робиться кінцеве число алгебраїчних операцій (складання, віднімання, множення, ділення, піднесенні до степеня, добування кореня, розв’язання алгебраїчних рівнянь).

Приклад алгебраїчної функції: Дробово-раціональна функція

.

Границя функції. Число А називається границею функції f(x) при х ® а, якщо для будь-кого e > 0 існує таке число δ > 0, що для усіх х таких, що

0 < ï x - a ï < δ

вірна нерівність ï f(x) - A ï < e..

Дві особливо важливі границі:

1) . (4.1)

2) . (4.2)