Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная х_i из набора f (х ₁, х ₂,..., х_п)входит ровно один раз, причем входит либо сама х_i либо ее отрицание .

Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить так:

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы алгебры высказываний называется ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:

1. ДНФ не содержит двух одинаковых конъюнкций.

2. Ни одна конъюнкция не содержит одновременно двух одинаковых переменных.

3. Ни одна конъюнкция не содержит одновременно некоторую переменную и ее отрицание.

4. Каждая конъюнкция содержит либо переменную х_i либо ее отрицание для всех переменных, входящих в формулу.

Конструктивно СКНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к КНФ, можно определить так:

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим свойствам:

1. КНФ не содержит двух одинаковых дизъюнкций.

2. Ни одна из дизъюнкций не содержит одновременно двух одинаковых переменных.

3. Ни одна из дизъюнкций не содержит одновременно некоторую переменную и ее отрицание.

4. Каждая дизъюнкция СКНФ содержит либо переменную х_i либо ее отрицание для всех переменных, входящих в формулу.

Сформулируем следующие теоремы:

Теорема 1: Произвольную булеву функцию Можно задать формулой где дизъюнкция берется по всем где и

Теорема 2: Произвольную булеву функцию можно задать формулой где конъюнкция берется по всем где и

Эти формулы называются соответственно совершенной дизъюнктивной нормальной формой или совершенной конъюнктивной нормальной формой булевой функции Исходя из таблицы истинности булевой функции, можно построить СДНФ функции: для каждого набора , такого что , составляется конъюнкция , а затем все эти конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции.

Для построения СКНФ функции выписываем наборы такие, что . Для такого набора составляется дизъюнкция а затем все такие дизъюнкции соединяют знаком конъюнкции.

Приведенные формулы позволяют сформулировать следующие утверждения:

1. Каждая булева функция от n переменных, отличная от константы 0, имеет единственную СДНФ.

2. Каждая булева функция от п переменных, отличная от константы 1, имеет единственную СКНФ.

Эти утверждения называются теоремой о функциональной полноте.