Пространство решений однородной системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

или в матричном виде

Пусть векторы Х и Y из являются решениями этой системы, тогда любая их комбинация также будет её решением.

Действительно,

.

Отсюда следует, что множество всех решений однородной системы из т уравнений с п неизвестными является подпространством пространства . Размерность этого подпространства определяется следующей теоремой.

Теорема. Пусть ранг матрицы А однородной системы равен r, тогда размерность линейного пространства решений этой системы равна п-r, где п – число неизвестных системы.

Следствие 1. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Следствие 2. Ранг матрицы не меняется при транспонировании.

Определение. Базис линейного пространства решений однородной системы называется фундаментальным набором решений этой системы.

Из теоремы следует, что фундаментальный набор решенийсостоит из п-r линейно независимых решений этой системы: где r – ранг матрицы системы. Т.к. любое другое решение Х этой системы является линейнойкомбинацией , то общее решение однородной системы в матричной форме имеет вид

,

где – произвольные постоянные.

Для нахождения ФСР однородной системы уравнений её r базисных переменных (с отличным от нуля базисным минором) выражают через свободные переменные. Затем поочередно заменяют n-r свободных переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например, единичной Е_n-r.