Определения.

1. Символ вида a + bi, где a и b произвольные действительные числа, условимся называть комплексным числом.

2. Комплексные числа a + bi и a₁ + b₁i условимся считать равными, если а = а₁ и

b = b₁.

3. Комплексное число вида a + 0i условимся считать равным действительному числу а.

4. Суммой двух комплексных чисел a + bi и a₁ + b₁i называется комплексное число (а + а₁) + (b + b₁)i.

5. Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число aa₁ – bb₁ + (a b₁ +a₁b)i.

Комплексное число вида 0 + bi называется чисто мнимым числом и обычно записывается так: bi; число 0 +1 i = i называется мнимой единицей.

В силу определения 3 всякому действительному числу а соответствует «равное» комплексное число a + 0i и обратно – всякому комплексному числу a + 0i соответствует «равное» действительное число а, то есть между этими числами существует взаимно-однозначное соответствие. Если рассмотреть сумму и произведение комплексных чисел a₁ + 0i и a₂ + 0i по правилам 4 и 5, то получим:

(a₁ + 0i) + (a₂ + 0i) = (a₁ + a₂) + 0i,

(a₁ + 0i) (a₂ + 0i) = (a₁ a₂ – 0) + (a₁0+a₂0) i = a₁a₂ + 0i.

Мы видим, что сумме (или произведению) данных комплексных чисел соответствует действительное число, «равное» сумме (или произведению) соответствующих действительных чисел. Итак, соответствие между комплексными числами вида a + 0i и действительным числом а таково, что в результате выполнения арифметических действий над соответствующими компонентами получаются соответственные результаты. Взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняется при выполнении действий, называется изоморфизмом. Это позволяет отождествить число a + 0i с действительным числом а и рассматривать всякое действительное число как частный случай комплексного.

Следствие. Квадрат числа i равен – 1.

i ² = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0·1 + 1·0)i = - 1.

Теорема. Для сложения и умножения комплексных чисел остаются в силе основные законы действий.

Определения:

1. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа z = a + bi. Rez=a

2. Число b называется мнимой частью комплексного числа z, число b - коэффициентом при мнимой части z. Imz=b.

3. Числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными.

Число, сопряжённое числу z = a + bi обозначается символом

= a - bi.

Пример. z =3 + i, = 3 - i.

Теорема. Сумма и произведение двух сопряжённых комплексных чисел действительны.

Доказательство. Имеем

.

В множестве комплексных чисел выполнимы действия, обратные сложению и умножению.

Вычитание. Пусть z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i - данные комплексные числа. разность z₁ – z₂ есть число z = x + y i, удовлетворяющее условию z₁ = z₂ + z или

а₁ + b₁i = (a₂ + x) + (b₂ + y)i.

Для определения x и y получаем систему уравнений a₂ + x = а₁ и b₂ + y = b₁, имеющую единственное решение:

x = а₁ - a₂, y = b₁ - b₂,

откуда

z = (а₁ + b₁i) – (а₂ + b₂i) = а₁ – а₂ +(b₁ - b₂)i.

Вычитание можно заменить сложением с числом, противоположным вычитаемому:

z = (а₁ + b₁i) – (а₂ + b₂i) = (а₁ + b₁i) + (- а₂ - b₂i).

Деление. Частное чисел z₁ и z₂ ≠ 0 есть число z = x + y i, удовлетворяющее условию z₁ = z₂z или

а₁ + b₁i = (a₂ + b₂i) (x + yi),

следовательно,

а₁ + b₁i = a₂ x - b₂y+ (b₂x + a₂y)i,

откуда получаем систему уравнений:

a₂ x - b₂y = a₁,

b₂x + a₂y = b₁.

Решением которой будут

,

следовательно,

Практически для нахождения частного умножают делимое и делитель на число , сопряжённое делителю:

Так, например,

В частности число , обратное данному числу z, можно представить в виде

.

Примечание. В множестве комплексных чисел остаётся в силе теорема: еслипроизведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В самом деле, если z₁z₂ =0 и если z₁≠ 0, то умножая на , получим

что и требовалось доказать.

При выполнении арифметических действий над комплексными числами надлежит руководствоваться следующим общим правилом: действия выполняются по обычным правилам действий над алгебраическими выражениями с последующей заменой i² на -1.

Теорема. При замене каждого из компонентов сопряжённым ему числом результат действия тоже заменяется сопряжённым числом.

Доказательство заключается в непосредственной проверке. Так, например, если каждое слагаемое z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i заменить сопряжённым числом, то получим число, сопряжённое сумме z₁ + z₂.

cледовательно,

.

Аналогично для произведения имеем:

.