Определители и их свойства

Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам.

Каждой квадратной матрице по некоторому закону может быть поставлено в соотвествие число , называемое определителем матрицы А или просто определителем п-го порядка. Обозначают:

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент .

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Пример 1.5. Вычислить определитель матрицы .

Решение. .

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Данная формула получила название правила треугольников.

Пример 1.6. Вычислить определитель .

Решение. .

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка (определитель -го порядка).

Определение. Минором элемента матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :

.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; ).

(разложение по элементам -го столбца; ).