Свойства векторов линейного пространства

Доказательство. Если, например, , то равенство (*) справедливо при и, следовательно, эти векторы линейно зависимы.

2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.

Доказательство. Пусть среди данных векторов имеется, например, вектор , который линейно выражается через остальные

.

Прибавляя к обеим частям равенства вектор , получим

,

Т.е. линейная комбинация векторов равна нулю, причём имеются коэффициенты, не равные нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Обратно, пусть векторы линейно зависимы, т.е. имеет место равенство (*) с не равными нулю одновременно коэффициентами . Например, . Перепишем равенство (*) в виде

.

Разделим обе части равенства на . Получим, что линейно выражается через остальные векторы системы

,

3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Действительно, если, например, векторы линейно зависимы, то справедливо равенство

,

в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами и справедливо равенство (*).

4. Система из одного вектора { } линейно зависима тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Доказательство. Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима, тогда найдётся число такое, что . Умножим обе части равенства на c ^-1. Получим или .

Обратно, если , то очевидное равенство показывает, что система векторов { } линейно зависима.

Определение 13. Линейное пространство R^п называется п - мерным, если в нём существует п линейно независимых векторов, а любые из (п + 1) векторов уже являются зависимыми. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нём линейно независимых векторов. Число п называется размерностью пространства R^п и обозначают dim (R^п).

Определение 14. Система векторов из R^п называется базисом пространства в R^п, если:

1. эти векторы линейно независимы;

2. любой вектор из R^п является линейной комбинацией векторов данной системой.

Следовательно, базисом на плоскости будут любые два неколлинеарных вектора, а в пространстве – любые три некомпланарных вектора.

Теорема. Линейно независимая система векторов в R^п тогда и только тогда является базисом, когда их число равно п.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства R можно представить (и при том единственным способом) в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство. Пусть векторы образуют произвольный базис п-мерного пространства R^п . Так как любые из (п +1) векторов п-мерного пространства R^п зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы и рассматриваемый вектор . Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа , что

.

При этом , ибо в противном случае, если и хотя бы одно из чисел было бы отлично от нуля, то векторы были бы линейно зависимы. Следовательно,

или

,

где

Предположим, что существует два разложения по базису в R^п, т.е.

,

.

Вычтем одно равенство из другого

.

Поскольку это базис, то все коэффициенты равны нулю, т.е.

Определение. Размерность линейной оболочки векторов называется рангом системы векторов .

Таким образом, ранг системы равен r, если среди векторов системы существует r линейно независимых, а любые q > r векторов данной системы линейно зависимы. Ранг же линейно независимой системы равен числу её членов.

Подсистема системы векторов называется базисом этой системы, если она является базисом линейной оболочки .