Ортогональный и ортонормированный базисы

Определение 17. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы п – мерногоевклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, т.е. при , и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и модуль каждого из них равна единице.

Теорема. Во всяком п – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. В качестве обоснования теоремы представим алгоритм последовательного построения ортонормированного базиса по заданному базису , называемый процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

Пусть вектор Найдём нормированный вектор (для которого ) делением на его норму , т.е. , и получим первый вектор ортонормированного базиса. Построим вектор

,

так, чтобы он был ортогонален вектору , т.е. скалярное произведение Для нахождения умножим скалярно полученное равенство на ; получим, используя свойство скалярного произведения:

Учитывая, что , найдём . Это означает, что вектор будет ортогонален вектору , и вторым вектором ортонормированного базиса станет нормированный вектор .

Используя полученные векторы и заданный вектор , построим вектор

,

ортогональный единичным векторам и , для чего умножим скалярно равенство последовательно на и и приравняем его к нулю:

Т.к. скалярные произведения ортонормированных векторов

,

то получим и вектор .

Нормируя вектор , получаем третий вектор ортонормированного базиса .

Продолжая процесс ортогонализации, по заданному базису построим ортонормированный .

Упражнение. Проверить, что векторы образуют ортогональный базис пространства . Найти координаты вектора в этом базисе.

Определение 18. Направляющие косинусы вектора - это косинусы углов между вектором и осями координат. Вычисляют по формулам:

.

Таким образом, направляющие косинусы являются координатами нормированного вектора и

Примером базиса в R^п может служить лестничная система векторов

Если вектор произвольный вектор из R^п, то очевидное равенство

показывает, что есть линейная комбинация векторов .

Пример. Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчёт стоимости «потребительской корзины», состоящей из 300 видов товаров и услуг, получаемых городскими (или сельскими) потребителями. Ниже следующей таблицы приведён условный пример того, как можно вычислять индекс цен для определённого месяца по отношению к предыдущему месяцу.

Таблица 1

Расчёт индекса цен: 40000/37500·100%=106, 7%. Таким образом, индекс инфляции составил 6, 7%.

Обозначим через - вектор количества потребляемых товаров, – вектор цен в текущем месяце, - вектор цен в предыдущем месяце. Тогда индекс цен вычисляется по формуле

,

откуда или .

Таким образом, индекс цен можно определить как численный коэффициент р, который делает вектор ортогональным вектору

Индекс инфляции рассчитывается по формуле