Свойства умножения вектора на число

Определение 6. Некоторое множество U образует линейное пространство, если для любых его элементов определена операция сложения и для каждого элемента и любого действительного числа определено произведение причём эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 (см. выше).

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п.

Определение 7. Подмножество S линейного пространства U называется подпространством, если выполнены следующие два условия:

1. для любых двух векторов и из S их сумма также принадлежит S

2. для любого вектора из S и любого действительного числа произведение также принадлежит S.

Очевидно, что подпространство S само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, определённых в U. У любого пространства существуют два подпространств, называемые тривиальными. Это само пространство U и нулевое подпространство (состоящее из одного нулевого элемента).

Например, в R³ (множество векторов) линейным подпространством будут все плоскости и все прямые, проходящие через начало координат.

Упражнение. Выяснить является ли множество S – множество решений неравенства линейным подпространством в R³.

Определение 8. Вектор называется линейной комбинацией векторов

, если

,

где - действительные числа.

Определение 9. Множество всех линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой векторов и обозначается .

Упражнение. Найти линейную оболочку векторов и проверьте, принадлежит ли этой оболочке вектор , если .