Прямая и плоскость

Прямой в пространстве , проходящей через точку с координатами , параллельно вектору , называется множество точек вида

где – любое число. Вектор называется направляющим вектором прямой.

В координатах равенство можно записать

или чисто символически

поскольку некоторые из координат вектора могут равняться нулю.

Определение. Пусть А и В две точки пространства. Отрезком АВ назовём множество точек Х вида

,

uде t принимает любое значение из промежутка [0, 1].

k - мерной плоскостью в пространстве , проходящей через точку , параллельно линейно независимой системе k векторов , называется множество точек

где – произвольные числа.

Одномерная плоскость – это прямая; n -мерная плоскость в пространстве совпадает с этим пространством.

Гиперплоскость – это (n -1)-мерная плоскость в пространстве , которая задается одним линейным уравнением

где – константы, причем не все числа равны нулю.

Вектором нормали гиперплоскости

называется вектор , такой, что для всех . То есть

Тогда для точек гиперплоскости в имеем уравнение

которое называется векторным общим уравнением гиперплоскости в .

Пусть – декартова прямоугольная система координат в , – некоторый вектор, то в координатах уравнение гиперплоскости можно записать в виде:

Следовательно, в декартовой системе координат коэффициенты общего уравнения прямой являются координатами вектора нормали гиперплоскости. Здесь . Если ввести в рассмотрение единичный вектор нормали

то величина численно равна расстоянию от начала координат до гиперплоскости. Тогда . Положительное (отрицательное) значение означает, что начало координат находится в нижнем (верхнем) полупространстве относительно данной гиперплоскости. Величина называется отклонением начала координат от гиперплоскости.

Пусть – радиус-вектор произвольной точки в . Отклонением точки от гиперплоскости является уравнение гиперплоскости:

Расстояние от точки до гиперплоскости определяется как абсолютное значение этой величины .

Зададим гиперплоскость в декартовых координатах

Тогда

Угол между двумя прямыми: определим из соотношения для скалярного произведения векторов:

Углом между прямой и гиперплоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Зададим прямую параметрически , а плоскость зададим общим уравнением . Тогда

Углом между гиперплоскостями называется угол между прямыми, перпендикулярными заданным плоскостям.

Зададим две гиперплоскости общими уравнениями: и . Тогда

Пусть и – две произвольные точки. Построим прямую, проходящую через две точки и .

или в координатах

В частности, при получим точку , а при получим точку . При получим замкнутый отрезок, а при получим открытый отрезок. При получим луч. Последние равенства можно переписать в виде:

или в координатах

Здесь при описании отрезка числа и пробегают всевозможные действительные положительные значения, связанные между собой равенством: .

В декартовых прямоугольных координатах уравнение плоскости в трехмерном пространстве приводиться к виду

и называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты являются координатами вектора , перпендикулярного к этой плоскости Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Существуют различные способы задания плоскости в трехмерном пространстве и соответствующие им виды уравнения.

1. Если плоскость проходит через точку и перпендикулярна к вектору , то ее уравнение записывается в виде:

2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат , , в точках , , соответственно, то ее уравнение можно записать в виде:

3. Если плоскость проходит через точки , где , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:

Угол между двумя плоскостями и вычисляется на основании формулы:

где , – нормальные векторы данных плоскостей. Отсюда условие перпендикулярности данных плоскостей можно представить в виде: . Условие параллельности рассматриваемых плоскостей:

Расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Пример. При каких значениях параметра α плоскость, заданная уравнением перпендикулярна координатной плоскости ?

Решение: Воспользуемся условием перпендикулярности

двух плоскостей, заданных уравнениями

,

.

По условию задачи первая плоскость, заданная уравнением

или

имеет следующие значения коэффициентов

Координатная плоскость , заданная уравнением , имеет значения коэффициентов

Таким образом, условие перпендикулярности

этих плоскостей можно представить в виде:

Отсюда следует, что .

Ответ: Плоскость, заданная уравнением перпендикулярна координатной плоскости при .

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно двум неколлинеарным векторам и .

Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Вычислим определитель, разложив его по первому столбцу

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно двум неколлинеарным векторам и , можно представить в виде:

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение: Воспользуемся формулой

где , , – координаты вектора ; , , – координаты точки . Получим

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору можно представить в виде:

Прямая на плоскости

1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

2. Общее уравнение прямой

3. Уравнение прямой в отрезках

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (направляющий вектор прямой).

5. Параметрические уравнения

.

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки

7. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

Угловой коэффициент k - это тангенс угла наклона прямой.

Угол отсчитывается от положительного направления оси OX

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом