Выпуклая оболочка системы точек

Определение. Точка называется выпуклой комбинацией точек А₁, А₂, …, А_m, если существуют такие числа , что при условии .

Например, любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через эту точку.

Представим себе, что в плоскость, имеющую вид бесконечного листа фанеры, в некоторых точках А₁, А₂, …, А_m забиты колышки. Если резиновой петлёй охватить все колышки, то получим многоугольную область с вершинами в некоторых из точек А₁, А₂, …, А_m, которая на рисунке отмечена штриховкой. Эта область называется выпуклой оболочкой системы точек А₁, А₂, …, А_m.

А₂

А₆

А₅ А₄

Более строгое определение выпуклой оболочки.

Определение. Множество всех выпуклых линейных комбинаций точек А₁, А₂, …, А_m называется выпуклой оболочкой системы точек А₁, А₂, …, А_m и обозначается

< А₁, А₂, …, А_m >

Пример 5.4.1. Выразить точку в виде выпуклой комбинации угловых точек множества пространства , заданного системой неравенств

Решение. Множество выпукло и представляет собой треугольник с вершинами , , . Здесь, координаты вершин являются точками пересечения прямых:

Представим точку в виде следующей выпуклой комбинации:

В координатной форме получим два уравнения:

Добавим к ним условие , получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим систему трех уравнений методом Гаусса:

Отсюда получаем значения

удовлетворяющие условию неотрицательности: . Поэтому искомое представление имеет вид:

Ответ: Точка может быть представлена выпуклой комбинацией угловых точек множества пространства , заданного системой неравенств

в виде: