Различные критерии продуктивности модели Леонтьева

Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (7.5).

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое коечное потребление можно обеспечить при подходящем выловом выпуске .

Уравнение (7.5) можно переписать в виде

.

Если обратная матрица существует, то отсюда следует

.

Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Второй критерий продуктивности. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Пример. Показать продуктивность матрицы

Решение. Сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Согласно теореме 2 . Значит, А – продуктивна.

Третий критерий продуктивности. Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Лемма. Если бесконечный ряд (из матриц) сходится, то его сумма есть матрица .