Тема 7.1

Невизначений інтеграл

7.1.1. Поняття первісної

Означення. Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку або .

Із означення виходить, що первісна F (x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Приклад. Первісні для функції мають вигляд:

, бо ;

бо ;

Рис. 7.1

, бо ,

причому F ₁(x), F ₂(x) — неперервні , а F ₃(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі пер­вісні F_і (x) і = 1, 2, 3, знайдені методом добору із наступною перевіркою, з використанням таблиці похід­них функцій.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F (x) — первісна для функції f (x) на проміжку І, то

1) F (x) + С — також первісна для f (x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф (х) для f (x) може бути подана у вигляді Ф (х) = F (x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функ-
ції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину (рис. 7.1).

7.1.2. Задача інтегрування.
Невизначений інтеграл

Означення. Операція знаходження первісних для функції f (x) називається інтегруванням f (x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція не має первісних на цьому проміжку.

Для розв’язування задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F (x), тоді (за теоремою про множину первісних) F (x) + С — загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F (x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f (x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f (x) на проміжку І і позначається

, , (7.1)

де — знак невизначеного інтеграла;

f (x) — підінтегральна функція;

f (x) dx — підінтегральний вираз;

Рис. 7.2

dx — диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що функція є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат (рис. 7.2).

Теорема 2 (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f (x) на певному проміжку достатньо, щоб f (x) була неперервною на цьому проміжку.

Зауваження. Виявляється, є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

, , ,

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «неінтегровними».

7.1.3. Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (7.1).

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

(7.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

(7.3)

7.1.4. Таблиця основних інтегралів

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. .