Інтегрування розкладанням

Цей метод базується на властивості невизначеного інтеграла (7.3). Мета методу — розкласти підінтегральну функцію на такі доданки, інтеграли від яких відомі або їх простіше інтегрувати, ніж початкову підінтегральну функцію.

Приклад.

7.1.6. Метод інтегрування частинами

Теорема 3. Якщо функції u (x) та v (x) мають неперервні похідні, то:

(7.4)

На практиці функції u (x) та v (x) рекомендується вибирати за таким правилом:

— при інтегруванні частинами підінтегральний вираз розбивають на два множники типу u × dv, тобто ; при цьому функція u (x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv беруть залишок підінтегрального виразу, який містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Приклад.

Інколи доводиться інтегрування частинами застосовувати кілька разів, що ілюструє такий приклад.

Далі наведено деякі типи інтегралів, при інтегруванні яких
застосовують метод інтегрування частинами та показано вибір функцій u (x) та v (x): ; ;

; ; ;

, (7.5)

де P (x) — многочлен, Q (x) — алгебраїчна функція, a Î R.

Звичайно, не слід думати, що метод інтегрування частинами обмежується застосуванням тільки до інтегралів типу (7.5).

У деяких випадках після інтегрування частинами інтеграла одержується рівняння, із якого знаходять шуканий інтеграл.

Приклад.

Отже, дістали рівняння , із якого знаходимо .

7.1.7. Метод підстановки
(заміна змінної інтегрування)

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема 4. Якщо f (x) — неперервна, а має непе-
рервну похідну, то:

(7.6)

Наслідок.

(7.7)

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису пер­шого диференціалу), тому, наприклад:

У такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Приклад.

Варіант заміни змінної інтегрування (7.7) зручний тоді, коли підінтегральний вираз можна розкласти на два множники: та .

Приклад.

Для деяких класів підінтегральних функцій розроблено стандартні заміни. Вибір зручної підстановки визначається знанням стандартних підстановок та досвідом.

7.1.8. Метод безпосереднього інтегрування

При безпосередньому інтегруванні використовується формула (7.7) варіанта заміни змінної, але саму заміну не записують (її роблять усно) при цьому використовують операцію внесення функції під знак диференціала. Отже, якщо то

Зокрема, коли j(х) є лінійною функцією, тобто дістаємо:

Зауваження. Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок (значення диференціала при цьому не зміниться):

.

Приклад.

7.1.9. Інтегрування деяких виразів,
що містять квадратний тричлен

Розглянемо інтегрування інтеграла

.

Інтеграл І залежно від знака дискримінанта буде таким:

Приклад.

Аналогічно за допомогою підстановки можна знаходити інтеграли виду .

Приклад.

7.1.10. Інтегрування раціональних функцій

Означення. Відношення двох многочленів називаєть­ся раціональним дробом.

Означення. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менший від степеня многочлена в знаменнику, тобто n < m; якщо n ³ m, то дріб називається неправильним.

Теорема 5. Будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (цілої частини) та правильного раціонального дробу.

Означення. За домовленістю найпростішими раціональними дробами називаються такі дроби чотирьох типів:

І. ; ІІ. ; ІІІ. ; IV. ,

де , інтеграли від яких мають вигляд

І. ;

ІІ. ;

ІІІ. — розглянуто в (7.1.9);

IV. — інтегрується за допомогою рекурентних формул.

Теорема 6. Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченної кількості найпростіших дробів, використовуючи такі правила:

1). Якщо , то

;

2). Якщо то

,

де А_і, В_і, і = — деякі коефіцієнти, та — правильні раціональні дроби.

Приклад. Даний правильний раціональний дріб (n < 12) розкласти на суму найпростіших дробів.

.

Коефіцієнти А ₁, В ₁, В ₂,..., N ₂ поки що невідомі (невизначені коефіцієнти); для їх знаходження треба праву частину рівності звести до спільного знаменника (найменшого) і знайдений чисельник прирівняти до чисельника даного дробу (бо здобуті дроби тотожно рівні й у них рівні знаменники). Із тотожної рівності многочленів у чисельниках одержимо рівності коефіцієнтів при однакових степенях змінної х, що являють собою систему лі-
нійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів А ₁, В ₁, В ₂,..., N ₂. Описаний вище метод називають методом невизначених коефі-
цієнтів.

Методика інтегрування раціональних функцій

1. Якщо підінтегральна функція — неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена та правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціонального дробу розкладають на множники. За виглядом знаменника правильний раціональний дріб подають у вигляді суми найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину та найпростіші дроби.

Приклад. ;

;

.

7.1.11. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо , де R — раціональна функція відносно sin x, cos x, тобто над sin x, cos x виконуються лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня, наприклад:

.

Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної функції , загальну схему інтегрування якої розроблено.

І. Універсальна тригонометрична підстановка .

.

Приклад.

.

Зауваження. На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять у невисокому степені (інакше розрахунки будуть дуже складні).

ІІ. Підінтегральна функція — непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

Приклад.

.

ІІІ. Підінтегральна функція — непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

Приклад.

.

IV. Підінтегральна функція — парна відносно sin x і cos x разом, тобто .

У цьому випадку використовують підстановку або .

Приклад.

.

V. Підінтегральна функція раціоналізується підстановкою .

Приклад.

.

Зауваження. В інтегралах рекомендується скористатись формулами зниження степеня:

.

Приклад.

.

Зауваження. При інтегруванні інтегралів типу:

, , треба скористатися формулами: ,

,

.