Максвелл үлестірілуі. Больцман үлестірілуі

Молекулалардың жылдамдық тары ешуақ ытта да бірдей бола алмайды, тә жірибелер де осыны дә лелдейді. Молекулалардың ретсіз қ озғ алыстарының жә не олардың бір-бірімен соқ тығ ысуларының арқ асында газ молекулалары қ андай да болмасын бір жолмен жылдамдық тар бойынша таралады, демек олардың ішінде ө те жеделдері де, ө те баяулары да болады. Молекулалардың қ озғ алыстарының толық хаостығ ына, олардың соқ тығ ысуларын жә не осыдан пайда болатын молекулалар жылдамдық тарының ө згерістерінің кездейсоқ тығ ына қ арамай, молекулалардың жылдамдық бойынша таралуы кездейсоқ тү рде емес, белгілі заң ғ а бағ ынады екен. Оның сипатына молекулалар арасында болатын соқ тығ ысулар да, сыртқ ы кү ш ө рістері де ә сер етпейді, ол ә рқ ашан бірмә нді жә не бір-ақ тү рде болады екен.

Газ молекулаларының жылдамдық тар бойынша таралу заң ын 1860 жылы Дж. Максвелл ық тималдық тар теориясын пайдаланып ашты.

Молекулалардың жылдамдық тар бойынша таралу функциясы жылдамдық тары -дан -ғ а дейінгі аралық та жататын молекулалардың салыстырмалы санын анық тайды.

Идеал газ молекулаларының жылдамдық тар бойынша таралуы туралы Максвелл заң ы:

, (1)

газдың тегіне (m₀ – молекула массасы) жә не кү й параметріне (температурағ а) тә уелді.

функциясының графигі: ең жоғ ары мә н қ абылдайтындай жылдамдық ық тимал жылдамдық деп аталады. Газ молекуласының кө бінің бірдей қ озғ алатын жылдамдық тарының шамасын ық тимал жылдамдық деп атайды. Оның ө рнегі:

. (2)

Формуладан шығ атыны (1-сурет) температураның артуымен максимумы оң ғ а қ арай ығ ысады. Қ исық пен шектелген фигура ауданы сондай, тек қ ана қ исық созылады жә не тө мендейді.

Максвелл заң ынан орташа арифметикалық жылдамдық тың

(3)

орташа квадраттық жылдамдық тың

(4)

шамасын шығ аруғ а болады жә не .

Барометрлік формула. Больцман ү лестірілуі. Кинетикалық теорияның негізгі тең деуін қ орытып шығ аруда жә не газ молекулаларының жылдамдық тар бойынша таралу заң дылығ ын қ арастыруда, идеал газ молекулаларына ешқ андай сыртқ ы кү штер ә сер етпейді дегенбіз. Олай болса, молекулалар газ тұ рғ ан ыдыстың барлық кө лемін алып тұ рады. Кез келген газ молекуласы Жердің тартылу ө рісінде болатыны белгілі. Егер атмосферадағ ы ауа молекулаларының жылулық қ озғ алысы болмаса, онда барлық молекула Жер бетіне тү скен болар еді. Сол сияқ ты Жердің тартылыс ө рісі болмаса, онда атмосферадағ ы ауа молекулалары Ә лем кең істігіне жайылып кеткен болар еді. Сонымен, Жердің тартылыс ө рісі жә не жылулық қ озғ алыс газды бір тепе-тең дік кү йге келтіріп, газ қ ысымының биікке кө терілген сайын кемитінін кө рсетеді.

Біртекті тартылыс ө рісінде барлық газ молекулаларының массалары мен оның температурасы тұ рақ ты болғ андық тан, биікке кө терілген сайын қ ысымның ө згеру заң дылығ ын қ арастырайық. Егер де белгілі бір h биіктіктегі атмосфералық қ ысымды р десек, онда h+dh биіктіктегі қ ысым p+dp болып ө згереді (азаяды). Онда (2-сурет), мұ ндағ ы - биіктіктегі газдың тығ ыздығ ы. Олай болса,

. (5)

Кү й тең деуін пайдаланып, газдың тығ ыздығ ын қ ысым мен температура арқ ылы ө рнектеуге болады. Қ алыпты жағ дайларғ а жуық тағ ан кезде атмосфера қ ұ рамына енетін газдардың қ асиеттерінің идеал газдардың қ асиеттерінен айырмашылығ ы аз болады. Сонда тең деуіне сә йкес газ тығ ыздығ ы . Осы ө рнекті (5) ө рнекке қ оямыз, сонда . Осыдан

. (6)

Абсолют температура T=const, биіктік h₀ –ден h₁ –ге ө згерсе, қ ысымның ө згерісін интегралдау арқ ылы табамыз немесе .

Осыдан . (7)

Бұ л тең дік барометрлік формула деп аталады. Бұ дан газдың молекулалық массасы неғ ұ рлым ү лкен болса, оның қ ысымы биіктеген сайын тезірек кемитіні байқ алады (3-сурет).

Барометрлік формуладағ ы р қ ысымды арқ ылы алмастырып, бірлік кө лемдегі молекулалар санының биіктік бойынша ө згеру заң ын анық таймыз

.

екенін ескеріп, соң ғ ы тең деуді былайшы жазамыз:

. (7)

Мұ ндағ ы - газ бө лшектерінің h₀ –ден h₁ –ге кө терілген кездегі потенциалдық энергияның ө згерісі, онда немесе қ атынасын енгіземіз де, мына ө рнекті аламыз

, (8)

мұ ндағ ы - молекулалардың салыстырмалы саны. Бұ л формула Больцманның таралу заң ы деп аталады.