Разветвленные цепи

Параллельное соединение приемников. Вначале рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.16, а). Для такой цепи характерно то, что напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен сумме токов ветвей.

Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

; ;

Угол сдвига φ между током каждой ветви и напряжением определяют с помощью cos φ:

; ;

Рис. 2.16. Цепь с параллельным соединением потребителей (а) и ее векторная диаграмма (б)

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов всех ветвей:

Ī = Ī ₁ + Ī ₂ + Ī ₃.

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме рис. 2.16, б.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:

Р = Р₁ + P₂ + P₃.

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс, ветви с емкостью — со знаком минус. Для цепи рис. 2.16 реактивная мощность равна

Q = Q_L1 - Q_C2 + Q_L3 - Q_C3.

Полная мощность цепи

Угол сдвига φ между общим током и напряжением определяют из векторной диаграммы или из выражения:

cos φ = P/S.

Графоаналитический метод не удобен для расчета разветвленных цепей: он отличается громоздкостью и невысокой степенью точности.

Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.

В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:

g = 1/r

и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:

I = Ug.

Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе

В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная, активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.

Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока I_a), а другая - на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока I_р).

Активная составляющая тока определяет активную мощность

P = UI cos φ = UI_a;

реактивная составляющая тока - реактивную мощность

Q = UI sin φ = UI_р.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I₁ равна

Величина

g₁ = r₁/z₁²

называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I₁ равна

Величина

b₁ = x_L/z₁² = b_L1

называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается b_L.

Аналогично определяют активную g₂ и реактивную b₂ проводимости второй ветви цепи:

I_2а = I₂cos φ ₂ = U/z₂ • r₂/z₂ = Ug₂; g₂ =r₂ /z₂²;

I_2p = I₂ sin φ ₂ = U/z₂• x_C /z₂ = U_b2; b₂ = b_C2 = x_C2 /z₂².

Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается b_C.

Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока

Ī ₁ = Ī _1а + Ī _1р,

а значение тока

Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим

где — полная проводимость ветви.

Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:

Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.

Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī ₁ и Ī ₂:

Ī = Ī ₁ + Ī ₂

и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:

Ī = Ī _а + Ī _р = Ū g_э + Ū b_э = Uу_э = U/z_э .

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

I_а = I_1а + I_2а = Ug₁ + Ug₂ = U(g₁ + g₂) = Ug_э. (2.24)

а реактивная составляющая - арифметической разности реактивных составляющих этих токов:

I_р = I_1р + I_2р = Ub_L1 - Ub_C2 = U (b_L1- b_C2)= Ub_э. (2.24)

Рис. 2.18. К расчету разветвлен ной цепи с использованием проводимостей

Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что эквивалентная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей:

g_э = g₁ + g₂ +... + g_n, (2.26)

а эквивалентная реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельно включенных ветвей:

b_э = b_L1 + b_С2 +... + b_Ln + b_Сп. (2.27)

При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, ветвей с емкостным характером нагрузки — со знаком минус. Полная эквивалентам проводимость цепи

(2.28)

По эквивалентным активной, реактивной и полной проводимостям можно определить параметры эквивалентной схемы (рис. 2.17, в) цепи.

Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления цепи определяют с помощью выражений

z_э = 1/у_э , r_э = g_эz_э², х_э = b_эz_э².

Необходимо отметить, что если Σ b_L > Σ b_C, то эквивалентное сопротивление х_э будет индуктивным, если Σ b_C > Σ b_L —емкостным.

мешанное соединение потребителей. Расчет цепи при смешанном соединении потребителей (рис. 2.18, а) может быть произведен путем замены ее простейшей эквивалентной цепью. Для этого вначале определяют активные, реактивные и полные проводимости параллельно включенных ветвей: g₁, g₂, b₁, b₂, у₁, у₂.

Затем находят эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи:

g_э = g₁+ g₂;

b_э = b₁ + b₂;

Далее определяют эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи:

r_э = g_эz_э²; x_э = b_эz_э²; z_э = 1/у_э.

В результате расчетов цепь может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 2.18, б), где все сопротивления включены последовательно. Общие активное, реактивное и полное сопротивления цепи равны

r_об = r_э + r.

x_об = x ± x_э,

Цепь приобретает простейший вид, изображенный на рис. 2.18, в. Общий ток цепи определяют по закону Ома:

I = U/z_об

Напряжение между точками а и b

U_ab = Iz_э = I/у_э.

Токи в параллельных ветвях равны

I₁ = U_ab у₁, I₂ = U_ab у₂.