Через шаровую стенку при ГУ I-рода

Имеем полый шар с внутренним () и внешним () радиусами и постоянным коэффициентом теплопроводности . Температура на внутренней поверхности – , а на внешней – , причём . Дифференциальное уравнение теплопроводности при стационарном режиме записывается в сферических координатах в виде (см. 2.11). Считаем, что температура меняется только вдоль радиуса r и не зависит от широты и долготы, поэтому дифференциальное уравнение теплопроводности преобразовывается в вид:

. (5.1)

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка запишем граничные условия:

при ,

при .

Если температура меняется вдоль радиуса шара, то закон Фурье имеет вид:

, Вт.

Поверхность шара равна

.

После двойного интегрирования уравнения (5.1) и определения постоянных интегрирования получаем выражение для теплового потока через шаровую стенку

. (5.2)

Плотность теплового потока через внутреннюю поверхность шара

, . (5.3)

Плотность теплового потока через наружную поверхность шара

, . (5.4)

Решением дифференциального уравнения (5.1) для температурного поля в шаровой стенке является

. (5.5)

Подставляя в уравнение (5.5) радиус r в метрах, можно определить температуру t в любой точке шаровой поверхности. Изотермические поверхности в этом случае являются шаровыми, т.е. температура в шаровой стенке меняется по закону гиперболы.

Для многослойной шаровой стенки из n-слоёв тепловой поток определяется из выражения:

. (5.6)

Значения и в (5.6) задаются.