Середні величини

Статистичний показник — це одна з основний категорій статистики, яка характеризує суспільні явища та процеси у поєднанні кількісної та якісної визначеності.

Класифікація показників:

– за способом одержання показники поділяються на первинні та вторинні (похідні). Перші одержують шляхом статистичного спостереження, зведення та групування, а інші розраховуються на основі перших;

– за ознакою часу показники поділяються на моментні та інтервальні. Моментні показники дають кількісну характеристику явища на певний момент часу, а інтервальні — за період часу (доба, тиждень, декада, місяць, квартал, рік).

– за можливістю узагальнення (сумування) показники поділяються на адитивні та неадитивні. Значення адитивних показників можна додавати, оскільки їх сума має економічний зміст. Неадитивні показники не можна додавати. Абсолютні статистичні величини (показники) — це характеристики явищ і процесів, що виражають чисельність сукупності або її частин, а також розміри, обсяги та рівні первинних ознак. Вони поділяються на індивідуальні, групові та загальні (сумарні). Індивідуальна абсолютна величина (показник) відноситься до окремої одиниці сукупності. Групова та загальна відповідно характеризує окрему групу одиниць або сукупність загалом, їх одержують шляхом сумування індивідуальних величин в межах групи або сукупності. Загальна абсолютна величина має назву «обсяг ознаки». Абсолютні показники— це іменовані числа, які виражаються у натуральних, трудових та вартісних вимірниках (одиницях виміру). У разі потреби використовуються умовно-натуральні одиниці виміру. Тоді рівень ознаки обчислюється у одиницях певного еталону. Перехід від натуральних до умовно-натуральних одиниць виміру здійснюється з допомогою перехідних коефіцієнтів.

Відносні величини (показники) виражають кількісне співвідношення між однойменним або різнойменними ознаками, що характеризують досліджувані явища та процеси. Відносна величина використовується у тому випадку, коли треба охарактеризувати:

§ у скільки разів одна ознака більша або менша за іншу;

§ яку частину становить одна ознака відносно іншої;

§ скільки одиниць однієї ознаки припадає на 1, 100, 1000, 10000, 100000 одиниць іншої ознаки.

Відносну величину завжди одержують шляхом ділення, тому її можна подати у вигляді дробу (). Показник, що знаходиться у чисельнику (А), називається порівнюваною величиною, а той, що стоїть у знаменнику (Б) — базою порівняння. Відповідно до обох величин використовуються різні форми виразу відносних величин, що дозволяє одержати її у зручному для сприйняття та інтерпретації вигляді – коефіцієнтному, процентному (відсотковому), промільному, продецімільному або просантимільному.

Залежно від сутності та методики розрахунку розрізняють сім видів відносних величин: планового завдання або намірів, виконання плану або реалізації намірів, динаміки, структури, координації, порівняння та інтенсивності.

Відносна величина планового завдання або намірів показує, у скільки разів або на скільки процентів очікуваний рівень показника більший чи менший фактично досягнутого рівня. Цю відносну величину одержують шляхом ділення планового або очікуваного значення показника у наступному періоді до його фактичного значення у попередньому періоді.

Відносна величина виконання плану або реалізації намірів характеризує, у скільки разів або на скільки процентів фактичне значення показника більше або менше запланованого або очікуваного. Для одержання такої відносної величини необхідно фактичне значення показника розділити на планове або очікуване (за один період часу).

Відносна величина динаміки характеризує зміну показника у часі і визначається як відношення значення у наступному періоді до величини у попередньому періоді.

Відносна величина структури характеризує співвідношення частини та цілого. Вона показує, яку частину або скільки процентів становить певна складова від загального підсумку. Якщо ця відносна величина визначається у вигляді коефіцієнту, вона називається часткою, а якщо у процентах — питомою вагою. Сума відносних величин структури дорівнює 1 або 100%.

Відносна величина порівняння – це співвідношення однойменних показників, які обчислено по різних сукупностях або територіях за однаковий час.

Відносна величина інтенсивності визначається як відношення двох різних показників і переважно характеризує ступінь поширення чи розвитку явища у певному середовищі. Ця відносна величина може мати одиниці виміру вихідних показників.

Середня величина – це узагальнююча характеристика однорідної сукупності за варіюючою ознакою, котра показує типовий рівень цієї ознаки у одиниці сукупності. Ознака, за якою визначається середня величина, називається осереднюваної ознакою або осереднюваним показником.

При визначенні середньої величини необхідно дотримуватись двох головних вимог: по-перше, сукупність повинна бути якісно однорідною; по-друге, наявність достатньо великої кількості одиниць у сукупності, тобто масовість даних.

Середні величини поділяються на загальні та групові. Загальна середня величина характеризує сукупність в цілому, а групова – окрему групу одиниць. У статистичному аналізі використовують різні види середніх величин, які набувають одну із двох форм – просту або зважену (середня арифметична, середня гармонічна, середня геометрична, середня квадратична). Використання кожного виду середньої величини визначається характером вихідних даних (індивідуальні чи згруповані, прямі чи обернені, абсолютні чи відносні), а також характером зв'язку між індивідуальними значеннями та способом одержання обсягу ознаки на основі індивідуальних значень (сума прямих значень, сума обернених значень, сума квадратів, добуток).

Середня арифметична величина використовується у тому випадку, коли обсяг ознаки одержують як суму прямих індивідуальних значень. Середня арифметична величина має таку загальну логічну формулу:

.

У тому випадку, коли середня величина визначається на основі індивідуальних даних, використовується середня арифметична проста:

,

де Х – індивідуальні значення осереднюваної ознаки; – кількість одиниць у сукупності.

Якщо вихідні дані є результатом групування, тобто відомий дискретний або інтервальний ряд розподілу, використовується формула середньої арифметичної зваженої:

де Х – варіанти; – частоти; – число груп; – частка групи.

Якщо вихідні дані являють собою результат групування і відомі середні значення показника по кожній групі (групові середні), то розрахунок загальної середньої здійснюється виключно за формулою середньої арифметичної зваженої:

де – групові середні величини; –число одиниць у і -тій групі; – частка і -тої групи.

Математичні властивості середньої арифметичної використовуються для спрощення її розрахунку в рядах розподілу з рівними інтервалами (метод «моментів»). Середнє значення при використанні цього методу визначається за формулою:

де m₁ — момент першого порядку; і — величина інтервалу; А – середина центрального інтервалу або інтервалу з найбільшою частотою.

Середня гармонічна величина використовується у тому випадку, якщо відомі обернені значення осереднюваної ознаки. При цьому має місце така залежність:

,

де — значення прямої (осереднюваної) ознаки; — значення оберненої ознаки.

За наявності індивідуальних (незгрупованих) даних використовують середню гармонічну просту:

Для згрупованих даних (дискретних та інтервальних рядів розподілу) застосовують середню гармонічну зважену:

Для розрахунку середньої величини використовують також середню гармонічну такого виду:

де W = Хf – обсяг ознаки; Х– значення осереднюваної ознаки.

Середня квадратична (проста і зважена) обчислюються за формулами:

Вона використовується при розрахунках показників варіації (середнього квадратичного відхилення) у модифікованому вигляді.

Середня геометрична величина застосовується тоді, коли обсяг ознаки дорівнює не сумі, а добутку варіантів. Проста середня геометрична має вигляд:

В окремих випадках виникає потреба визначити узагальнену середню величину по декількох ознаках одночасно. Вона має назву багатомірної середньої. При цьому осереднюються не абсолютні значення ознак, а коефіцієнти відношення до середнього рівня по кожній ознаці. Названі коефіцієнти визначаються за формулою:

де і = 1, 2, 3,......., m – кількість ознак; j = 1, 2, 3,......., n – кількість одиниць у сукупності.

Багатомірна середня має вигляд:

.

У статистичному аналізі досить часто необхідно визначати середнє значення не абсолютної, а відносної величини. Методика розрахунку середньої в даному випадку залежить від вихідних даних. Якщо відомі значення показників, котрі знаходяться у чисельнику та знаменнику відносної величини, використовується формула:

Якщо відомі значення осереднюваної відносної величини (ВВ), які розглядаються як варіанти , та значення показника, котрий знаходиться у її знаменнику (Б) і виконує роль частоти f, розрахунок виконують за формулою середньої арифметичної зваженої:

Для характеристики розподілу одиниць сукупності за певною ознакою використовується так звані порядкові або структурні середні – мода тамедіана.

Мода (М ₀) – це значення ознаки, яке найчастіше зустрічається у сукупності. Таким чином, у дискретному ряді розподілу – це варіант, який має найбільшу частоту. В інтервальному ряді розподілу мода знаходиться за формулою:

де Х_мо – нижня межа модального інтервалу; і – величина модального інтервалу; f₂, f₁, f₃ – відповідно частота модального, передмодального та післямодального інтервалів.

Медіана (Ме) – це значення ознаки, що ділить рангований ряд значень показника на дві рівні частини. У першої половини одиниць значення ознаки менше медіани, а у другої – більше, тобто, медіана – це значення ознаки, розміщене у середині рангованого ряду. У тому випадку, коли відомі індивідуальні значення ознаки, їх спочатку рангують (розміщують у порядку зростання чи спадання). Потім визначають номер (місце) медіани:

За непарної кількості одиниць медіана дорівнює значенню ознаки з порядковим номером (n+1)/2. За парної кількості одиниць у сукупності медіана визначається як півсума двох значень – з порядковими номерами n/2 та (n+2)/2:

В інтервальному ряді розподілу медіана визначається за формулою:

де Xme – нижня межа медіанного інтервалу; і – величина медіанного інтервалу; S_{me- 1} – нагромаджена частота передмедіанного інтервалу; f_me – частота медіанного інтервалу.