Показники варіації

Під варіацією розуміють мінливість, коливання значень ознаки у одиниць сукупності. Варіацію можна вивчати як на основі рядів розподілу, так і за індивідуальними даними.

При вивченні варіації вирішуються три головних завдання (відповідно існує три групи показників):

– характеристики центру розподілу (середня, мода і медіана);

– характеристики розміру та ступеня варіації;

– характеристики виду та типу розподілу.

Для оцінювання розміру варіації використовується система абсолютних показників, які розглядаються як абсолютна міра варіації.

Розмах варіації () характеризує максимальну амплітуду коливань значень ознаки в сукупності:

де: – відповідно найбільше та найменше значення ознаки.

В інтервальних рядах розподілу розмах варіації визначається як різниця між верхньою межею останнього та нижньою межею першого інтервалу.

Середнє лінійне відхилення (), що характеризує середній розмір відхилень значень ознаки від середнього рівня. Для розрахунку за індивідуальними даними використовують середнє лінійне відхилення просте:

,

де – індивідуальні значення ознаки; – середнє значення ознаки; – кількість одиниць у сукупності.

За наявності дискретного або інтервального ряду розподілу використовують середнє лінійне відхилення зважене:

,

де – варіанти; – частоти.

Дисперсія () – це середній квадрат відхилень значень ознаки від її середнього рівня. Для розрахунку за індивідуальними даними використовують дисперсію просту:

.

За наявності дискретного або інтервального ряду розподілу використовують дисперсію зважену:

.

Для спрощення розрахунків використовують формули: або .

Середнє квадратичне відхилення (σ) — показує середній розмір відхилень значень ознаки від середнього рівня. Залежно від вихідних даних використовують середнє квадратичне відхилення просте і зважене (перший та другий вираз, відповідно):

Середнє квадратичне відхилення найчастіше використовують у статистичному аналізі, тому його також називають стандартним відхиленням. Слід мати на увазі, що при симетричному розподілі одиниць сукупності .

Відносні показники варіації використовуються:

– для оцінки ступеня варіації;

– для порівняння варіації різних ознак;

– для порівняння варіації однієї ознаки у різних сукупностях.

У статистичному аналізі найчастіше використовується такі відносні показники варіації:

– коефіцієнт осциляції: ;

– лінійний коефіцієнт варіації: ;

– квадратичний коефіцієнт варіації: .

На практиці переважно використовують коефіцієнт варіації такого виду:

Вважається, що сукупність є однорідною, якщо V £ 33%. Крім цього, наведений коефіцієнт варіації застосовують для оцінки ступеня варіації: V < 15% – варіація слабка; 15 £ V £ 25% – середня; V > 25% – сильна.

Загальну варіацію ознаки можна розкласти на дві складові – систематичну та випадкову. Для цього необхідно виконати аналітичне групування, у якому досліджувана ознака є результативною, а групувальна ознака розглядається як систематичний фактор.

Випадкова варіація обумовлена дією випадкових факторів і проявляється у коливанні значень результативної ознаки в межах однієї групи. Вона характеризується показником внутрішньогрупової дисперсії та показує середній розмір відхилень значень результативної ознаки (у) від групової середньої (): .

Внутрішньогрупову дисперсію розраховують окремо для кожної групи, тому для одержання її значення у сукупності визначають середню величину (середню внутрішньогрупову дисперсію): .

Доведено, що загальна дисперсія результативної ознаки дорівнює сумі міжгрупової дисперсії та середньої внутрішньогрупової дисперсії:

Це правило має назву «правило додавання дисперсій». Воно використовується для того, щоб розкласти загальну варіацію результативної ознаки на систематичну та випадкову. При цьому мірою систематичної варіації є міжгрупова дисперсія (), а випадкової – середня внутрішньогрупова дисперсія ().