Оценка погрешности.

Пусть существует , непрерывная на . По формуле Тейлора: . Интегрируя, получаем:

(6)

Обозначим .

Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид: если непрерывна и - интегрируема, то

,

где .

Пусть . Имеем .

(7)

Пусть . Имеем и оценка для будет того же вида (6).

Таким образом, (6) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.

Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.

Пусть существует . По формуле Тейлора имеем:

.

Интегрируя, получаем

Так как, , то

. Отсюда следует оценка

(8)

Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток разбить точками , , на частичные промежутки, к каждому из которых применяется формула прямоугольников

, , (9)

Суммируя по , получаем обобщенную формулу прямоугольников.

(10)

при - формула левых прямоугольников,

при - формула правых прямоугольников,

при - формула средних прямоугольников.

Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (6) или (7) соответственно.

При , :

(11)

При :

(12)

Из оценок (11) и (12) следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая достаточно малым) можно получить результат с необходимой точностью [7].