![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Элементы тензорного исчисления
Объекты различной физической природы требуют при математическом описании различного числа компонент. Так скалярные величины тина температуры, плотности, давления могут быть полностью охарактеризованы только своими численными значениями. Другие являются лекторами (перемещение, скорость, ускорение, сила, момент силы и т. д.). Для их определения надо указать не только численное значение величины, но и ее направление в пространстве. Однозначно заданы они могут быть совокупностью трех величин, например проекциями па осп какой-либо координатной системы. Примерами более сложных объектов являются тензор напряжений и тензор скоростей деформаций в жидкости, требующие дли своего описания девяти компонент. Свойства анизотропных тел определяются совокупностью 81 величины и т. д. Удобно с целью унификации назвать скалярные величины тензором нулевого ранга (3° - одна компонента), векторные — тензором первого ранга (31 — три компоненты}, тензор второго ранга требует 32 величин, четвертого — - З4 и т. д. Таким образом, приходим к понятию тензора п-го ранга, имеющего 3n компонент, и будем с этих позиций рассматривать операции над конкретными физическими объектами. Примером возникновения понятия тензоров может служить напряженное состояние в жидкости. Напряжение есть сила внутреннего взаимодействия частиц жидкости, отнесенная к единице площади. Ее векторное описание в принципе невозможно, ибо помимо величины и направления в пространстве должна быть также известна ориентация площадки, к которой она приложена. Чтобы избавиться от последнего ограничения, напряжение в точке следует выразить через три величины, приложенные к площадкам строго фиксированным в пространстве. Вкачестве последних удобно выбрать координатные поверхности пли плоскости в случае декартовых координат. Тогда сила, приложенная к каждой из этих поверхностей, является уже вектором и может быть задана тремя компонентами, а всего их, естественно, будет девять. Напряжение, как мы видели, записывается в виде матрицы (Рij):
Отметим, что для тензоров вообще удобна матричная запись. При этом скалярная величина запишется просто (а). Если
Для тензора второго ранга (a ij) (i, j — 1, 2, 3) матрица имеет вид
Суммой (разностью) тензоров является тензор, компоненты которого представляют собой сумму (разность) компонент слагаемых. Для тензора второго ранга, например, имеем cij= a ij+b ij
Ясно, что складывать (вычитать) можно лишь тензора одного ранга и в результате получаем тензор того же ранга. По сути дела речь идет о сложении или вычитании двух аналогичного вида матриц. Умножение тензора на скалярную величину α сводится к умножению на нее всех его компонент, т. е. α (a ij) = (α aij). Внешним произведением тензоров называется новый тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Его компоненты представляют собой всевозможные комбинации произведений компонент сомножителей. Пример произведения тензоров первого ранга дает диада
В итоге получаем тензор второго ранга. Аналогично при умножении тензоров второго ранга aij, bkm получаем тензор четвертого ранга aijkm =aijbkm. Существует тензор, называемый единичным, при умножении на который каждый тензор 2-го ранга переходит сам в себя. Он обозначается U, а его компоненты δ ij,, причем δ ij=1, если i=j и δ ij=0, если i≠ j Таким образом,
Легко удостовериться, что
Тензор может быть симметричным или антисимметричным по паре индексов, если при их взаимной перестановке его компоненты или не меняются (симметричный) или изменяют свой знак на противоположный (антисимметричный). Поэтому, если Sij симметричный тензор, то Sij = Sji Легко убедиться, что это эквивалентно равенству компонент, расположенных симметрично относительно главной диагонали, так что справедливо следующее:
Следовательно, у симметричного тензора имеется лишь шесть независимых компонент. Для антисимметричного тензора Aij должно выполняться условие Aij = -Aji. Ясно, что все диагональные элементы антисимметричного тензора равны нулю, при i = j имеем Aii = -Aii, т, е. величина равна себе самой с обратным знаком, что означает Аii = 0. Матрица для антисимметричного тензора имеет вид
В этом случае имеется три независимых компоненты. Любой тензор второго ранга aij может быть разложен на сумму симметричного и антисимметричного тензоров, т.е.
Обозначая Все рассмотренные операции над тензорами отражают конкретные свойства величин, с которыми приходится сталкиваться в различных областях физики и, в частности, гидромеханике.
|