Вихрь скорости. Смысл компонент вихря скорости. Вихревые линии, вихревые трубки. Теоремы гельмгольца.

Напомним, что в математическом анализе под ротором какой-либо векторной величины , подразумевается векторное произве­дение

, (1.2.5)

где

- оператор Гамильтона, представляющий собой символический вектор с проекциями = (, , - единичные орты в направлении осей x, y, z).

Ротор скорости , согласно данному выше определению, должен записаться в виде

, (1.2.6)

Обратимся к физической интерпретации ротора скорости. Рассмотрим скорость вращения твердого тела вокруг какой-либо точки. Как известно, она равна

=ng w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> r< /m: t> < /m: r> < /m: e> < /m: acc> < /m: e> < /m: d> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> ,

где = - радиус-вектор.

В проекции на оси координат:

, , = .

Найдем . В проекции на ось x имеем

Таким образом, равна угловой скорости вращения частицы жидкости как твердого тела вокруг оси x.

Скорость любой точки жидкой частицы может быть представлена в виде

υ _в = υ _А + ½ × ρ + υ _д

где υ _А – скорость полюса, υ _д – чисто деформационная скорость, ½ × ρ – скорость точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы с угловой скоростью ½ Ω. Вектор

= rot = 2 (1.2.7)

– удвоенная угловая скорость, с которой затвердевшая жидкая частица вращается вокруг оси, проходящей через точку, принятую за центр. Проекции вихря скорости

Ω _x = ∂ υ _y - ∂ υ _z = 2ω _x,

∂ _z ∂ _y

Ω _y = ∂ υ _x - ∂ υ _z = 2ω _y,

∂ _z ∂ _x

Ω _z = ∂ υ _y - ∂ υ _x = 2ω _z.

∂ _x ∂ _y

Проекцию вектора угловой скорости на какую-либо ось можно одновременно рассматривать как угловую скорость вращения относительно этой оси. Поэтому проекции вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат.