Дивергенция скорости

Физический смысл дивергенции скорости.

В курсах математического анализа дивергенция вектора опреде­ляется как

или, через посредство оператора Гамильтона, как скалярное произведение:

Там же выводится формула связи между потоком вектора и его дивергенцией (формула Гаусса-Остроградского):

,

где τ — объем, ограниченный поверхностью σ.

Поэтому для вектора скорости следует записать

s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> ∂z< /m: t> < /m: r> < /m: den> < /m: f> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , (1.2.9)

Или

И

, (1.2.10)

Последнее выражение расшифровывается следующим образом: объем жидкости, выходящий за единицу времени за пределы τ (или, наоборот, остающийся в нем) равен объемному интегралу от дивергенции скорости. (В случае вытекания дивергенция отри­цательна).

Отсюда легко перейти к физической интерпретации . Для этого, воспользовавшись теоремой о среднем, вынесем в (1.2.10) из-под знака интеграла. Тогда

Поскольку равен разности входящих и выходящих потоков, т.е. , то считая τ малой величиной , последнее выражение можно записать в виде .

Переходя к пределу, получим

Таким образом, дивергенция скорости равна относительному изменению объема фиксированной частицы жидкости в единицу времени. Или, иначе говоря, она представляет собой разность входящих в единичный объем и выходящих из него потоков жидкости за единицу времени.