Биномиальное распределение

Среди законов распределения ДСВ наиболее распространенным является биномиальное распределение или распределение Бернулли, с которым мы уже встречались применительно к случайным событиям.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q =1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X - число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁=0, х₂=1, х₃=2, …, х_n+1 = п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: (3.1)

Формула (3.1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения Бернулли.

Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (3.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(р+q)ⁿ = pⁿ∙ + p^n-1∙ q+…+ p^k∙ q^n-k + … + ∙ qⁿ (3.2)

Таким образом, первый член разложения рⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член np^n-1q определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон распределения в виде таблицы:

X	п	п- 1	…	k	…	0
Р	рп	npn-lq	...	pk ∙ qn-k	…	qn

Пример 3.1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-p=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. То есть, возможные значения Хтаковы: х₁=2; х ₂= 1, х₃=0.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р₂ (2) = p² = (l/2)² = 0, 25, Р₂ (1) = p∙ q = 2∙ (1/2) (1/2) = 0, 5,

Р₂ (0) = q² = (1/2)² = 0, 25.

Напишем искомый закон распределения:

Домашнее задание: ДР-3.1 (Письменный, с. 63, № 1)