![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Предел функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность
Определение предела функции является настолько важным, что существует 2 общепринятых определения предела функции. Определение 1. (Предел функции по Коши) Предел функции Запишем это определение в терминах математической логики: Определение 2. (Предел функции по Гейне) Предел функции Запишем это определение в терминах математической логики: Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны. Доказательство. Доказательство состоит из двух частей. Мы докажем, что из выполнения условий определения 1 следует выполнения условий определения 2. И затем докажем, что из выполнения условий определения 2 следует выполнения условий определения 1. Пусть выполнены условия определения 1 и задано произвольное положительное число Пусть выполнены условия определения 2. Доказательство того, что выполнены условия определения 1 проведем методом «от противного». Если определение 1 не выполняется, то это означает, что существует положительное число Данная теорема показывает, что при доказательстве теорем можно использовать любое из определений. Теорема 2. Если предел функции существует, то он единственный. Доказательство. Используем определение предела функции по Коши и проведем доказательство методом «от противного». Пусть это не так, тогда 2 числа
|