Предел функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции является настолько важным, что существует 2 общепринятых определения предела функции.

Определение 1. (Предел функции по Коши) Предел функции при стремящемся к равен (записывается ), если для каждого положительного, сколь угодно малого числа найдется число , обладающее тем свойством, что при условии выполнено условие .

Запишем это определение в терминах математической логики: .

Определение 2. (Предел функции по Гейне) Предел функции при стремящемся к равен , если для каждой числовой последовательности такой, что и выполнено условие .

Запишем это определение в терминах математической логики: .

Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Доказательство состоит из двух частей. Мы докажем, что из выполнения условий определения 1 следует выполнения условий определения 2. И затем докажем, что из выполнения условий определения 2 следует выполнения условий определения 1.

Пусть выполнены условия определения 1 и задано произвольное положительное число . По определению 1 для него существует число , обладающее тем свойством, что при выполнено соотношение . Зафиксируем это число и рассмотрим произвольную числовую последовательность, члены которой не равны числу , и предел которой равен . Следовательно, для этого существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено условие и , т. е. . Отсюда выполнено условие , а это и означает, что . Первая часть теоремы доказана.

Пусть выполнены условия определения 2. Доказательство того, что выполнены условия определения 1 проведем методом «от противного». Если определение 1 не выполняется, то это означает, что существует положительное число такое, что для любого числа , например, для найдется соответствующее , обладающее тем свойством, что при условии выполнено условие . А это означает, что построенная таким образом последовательность и в то же время не выполнено условие выполнено условие . Мы пришли в противоречие с тем, что выполнено определение 2. Теорема доказана.

Данная теорема показывает, что при доказательстве теорем можно использовать любое из определений.

Теорема 2. Если предел функции существует, то он единственный.

Доказательство. Используем определение предела функции по Коши и проведем доказательство методом «от противного». Пусть это не так, тогда 2 числа и () удовлетворяют определению предела функции по Коши. Если в качестве взять число , то -окрестности точек и - интервалы и - не пересекаются. Но, при достаточно малых значения функции от аргументов, попадающих в -окрестность точки должны лежать в -окрестности предельных точек, что, как мы видим, невозможно. Теорема доказана.