Функции, бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 3. Функции называется бесконечно малой величиной в точке , если .

Итак, функция называется бесконечно малой (б. м.) в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен 0.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Произведение б. м. величины (функции) на ограниченную величину (функцию) есть величина б. м. в этой же точке.

Доказательство совершенно аналогично доказательству теорем для последовательностей.

Теорема 4. Функции имеет предел при стремящемся к , равный (записывается ), тогда и только тогда, когда функция является бесконечно малой величиной в точке .

Доказательство. Пусть , т.е. при в силу определения Коши при соответствующих условиях . Но это равносильно тому, что при тех же условиях , т. е. функция является б. м. величиной.

Под бесконечно большой величиной мы понимаем величину, обратная к которой является б. м.