Замечательные пределы

Теорема 6. (1-й замечательный предел) .

Доказательство. Для углов в 1-й четверти справедливы соотношения или . Так как левая и правая части неравенства стремятся к 1, то и средняя часть имеет предел, равный 1.

С учетом леммы о двух милиционерах теорема доказана.

Теорема 7. (2-й замечательный предел) .

Доказательство. Пусть вначале и . Тогда , левая и правая части имеют предел . С учетом леммы о двух милиционерах теорема доказана. Случай рассматривается аналогично.

Непрерывность функции, классификация точек разрыва

Определение 4. Функции называется непрерывной в точке , если .

Итак, функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , имеет предел слева и справа при подходе к этой точке, эти пределы равны и совпадают со значением функции в этой точке.