Формулы численного дифференцирования.

1) Простейшие формулы численного дифференцирования.

Допустим, что в некоторой точке у функции существует производная

которую точно вычислить не удается, либо слишком сложно. Тогда естественно положить

. (1)

Спрашивается, какова же погрешность, т.е. разность между левой и правой частями приближенного равенства (1)?

Остановимся на трех простейших формулах численного дифференцирования. Пусть – шаг.

Обозначим и т.д.

Пусть . Тогда существует такая точка , что

. (2)

Если , то

. (3)

Если , то

. (4)

Докажем соотношение (2). Согласно формуле Тейлора имеем

Отсюда

т.е. получили равенство (2).

Формулы (2) – (4) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами, а формулы

(5)

(6)

(7)

называются просто формулами численного дифференцирования.

Погрешности формул (5), (6), (7) оценивается с помощью следующих неравенств, вытекающих из соотношений (2), (3), (4):

,

,

.

Говорят, что погрешность формулы (5) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (6) и (7) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Говорят также, что формула численного дифференцирования (5) первого порядка точности (относительно ), а формулы (6) и (7) имеют второй порядок точности.

2) Применение интерполяционного многочлена Лагранжа.

Для нахождения производных любого порядка существуют формулы численного дифференцирования любого порядка точности.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции в некоторых узлах строят интерполяционный многочлен Лагранжа и приближенно полагают

. (8)

Приведем несколько распространенных формул для первой и второй производных в узлах, расположенных с постоянным шагом .

(три узла):

(9)

(10)

(четыре узла):

(11)

(12)

Можно продолжить список формул численного дифференцирования для возрастающих значений n, m; при этом обнаруживается следующая закономерность: используя значения функции в узлах, получаем аппроксимацию производных -го порядка точности. Эти формулы можно использовать не только для узлов но и для любых узлов соответствующим образом изменяя значения индексов.

Отметим тот факт, что при четных значениях наиболее простые выражения и наименьшие коэффициенты в остаточных членах получаются для производных в средних (центральных) узлах ( при , при , при , при ). Выпишем аппроксимации производных () для узла с произвольным номером , считая его центральным:

(13)

(14)

(15)

(16)

Они называются аппроксимациями производных с помощью центральных разностей и широко используются на практике.

3 ) Применение интерполяционных многочленов Ньютона.

Пусть функция задана таблицей значений в равноотстоящей точке где . Требуется вычислить значение производной для , близкого к . Взяв интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед

в результате последовательного дифференцирования получим:

(17)

и

(18)

Таким же образом можно вычислять и производные любого порядка.

Для того чтобы получить значения производных в точке , лежащей в конце таблицы, надо воспользоваться интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад. Применяя тот же прием, получим

(19)

(20)

Формулы приближенного дифференцирования значительно упрощаются, если значения производных вычисляются в узлах интерполирования. Положив , будем иметь:

(21)

и

(22)

Положив , будем иметь:

(23)

и

. (24)

Пример. В первых двух столбцах таблицы даны значения функции . Найти значения производных и в точках и .

Решение. Составляем таблицу разностей:

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25	0.00000 0.10017 0.20134 0.30452 0.41075 0.52110	0.10017 0.10117 0.10318 10.10623 0.11035	0.00100 0.00201 0.00305 0.00412	0.00101 0.00104 0.00107	0.00003 0.00003

Эту таблицу продолжаем до разностей четвертого порядка, так как разности более высоких порядков при выбранном шаге практически равны нулю. Для численного дифференцирования в точке используем формулы (21) и (22), считая :

Для численного дифференцирования в точке используем формулы (21) и (22), считая :

Для сравнения приведем точные значения производных , в данных точках:

, ;

, .

Пример. Даны значения функции в указанных точках

	0.96	0.98	1.00	1.02	1.04

Найти и .

Решение. Для нахождения воспользуемся формулами (13) и (14):

, .

Получим соответственно:

, .

Точное значение .

Для вычисления воспользуемся формулой (15):

.

Получим: .

Точное значение .

Пример. Пусть функция задана на отрезке таблицей значений с шагом :

Используя формулы численного дифференцирования, найдем значения производной в узлах.

В точках и можно воспользоваться лишь формулами

,

имеющими первый порядок точности. В остальных точках применим формулу (6), имеющую второй порядок точности.

Вычисления дают следующую таблицу производных:

Пример. Для данных в примере 1 вычислить значения в узлах.

Формулой (7) можно воспользоваться только во внутренних узлах.