![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формулы численного дифференцирования.
1) Простейшие формулы численного дифференцирования. Допустим, что в некоторой точке которую точно вычислить не удается, либо слишком сложно. Тогда естественно положить
Спрашивается, какова же погрешность, т.е. разность между левой и правой частями приближенного равенства (1)? Остановимся на трех простейших формулах численного дифференцирования. Пусть Обозначим Пусть
Если
Если
Докажем соотношение (2). Согласно формуле Тейлора имеем Отсюда т.е. получили равенство (2). Формулы (2) – (4) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами, а формулы
называются просто формулами численного дифференцирования. Погрешности формул (5), (6), (7) оценивается с помощью следующих неравенств, вытекающих из соотношений (2), (3), (4):
Говорят, что погрешность формулы (5) имеет первый порядок относительно
2) Применение интерполяционного многочлена Лагранжа. Для нахождения производных любого порядка существуют формулы численного дифференцирования любого порядка точности. Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции
Приведем несколько распространенных формул для первой
Можно продолжить список формул численного дифференцирования для возрастающих значений n, m; при этом обнаруживается следующая закономерность: используя значения функции в Отметим тот факт, что при четных значениях
Они называются аппроксимациями производных с помощью центральных разностей и широко используются на практике.
3 ) Применение интерполяционных многочленов Ньютона. Пусть функция в результате последовательного дифференцирования получим:
и
Таким же образом можно вычислять и производные любого порядка. Для того чтобы получить значения производных в точке
Формулы приближенного дифференцирования значительно упрощаются, если значения производных вычисляются в узлах интерполирования. Положив
и
Положив
и
Пример. В первых двух столбцах таблицы даны значения функции Решение. Составляем таблицу разностей:
Эту таблицу продолжаем до разностей четвертого порядка, так как разности более высоких порядков при выбранном шаге практически равны нулю. Для численного дифференцирования в точке
Для численного дифференцирования в точке Для сравнения приведем точные значения производных
Пример. Даны значения функции
Найти Решение. Для нахождения
Получим соответственно:
Точное значение Для вычисления
Получим: Точное значение
Пример. Пусть функция
Используя формулы численного дифференцирования, найдем значения производной В точках
имеющими первый порядок точности. В остальных точках применим формулу (6), имеющую второй порядок точности. Вычисления дают следующую таблицу производных:
Пример. Для данных в примере 1 вычислить значения Формулой (7) можно воспользоваться только во внутренних узлах.
|